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Dérivée et sens de variation

Publié le 31/12/2014

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Dérivée et sens de variation Nous allons enfin démontrer le théorème suivant, que tout le monde connait et utilise au quotidien. Théorème 3.5.2. Soit I un intervalle ouvert de R, et soit f : I -> R une fonction dérivable. Alors (1) f est constante <==> ?...

« (En effet, si h > 0 alors f(x0 + h) ≥ f(x0), et si h < 0 alors f(x0 + h) ≤ f(x0)).

On en d´eduit par passage `a la limite que f ′ (x0) ≥ 0.

⇐ Soient a,b ∈ I avec a < b, alors par le théorème des accroissements finis il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f ′ (c) ≥ 0 donc f(a) ≤ f(b), ce qui montre que f est croissante. (3) Même principe que (2).. »

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