Transmath corrigé chap1 2010

CHAPITRE 1 Second degré ACTIVITÉS (page 23) Activité 1 Activité 2 1 a) x2 + 2x = (x + 1)2 - 1, soit ? = 1. 2 2 b) x + 2x - 8 = (x + 1) - 9. c) et d) x2 + 2x - 8 = [(x + 1) - 3][(x + 1) + 3] = (x - 2)(x + 4). = {2 ; - 4}. 2 a) x2 - 4x - 5 = (x - 2)2 - 9. b) 2(x2 - 4x - 5) = 2(x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 2(x - 5)(x + 1). = {-1 ; 5}. 3 a) x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 - 4 + 5 = (x + 2)2 + 1. 2 Lorsque a est non nul, la courbe est une parabole. 3 a) Si a est positif, la parabole est « tournée vers le haut «. Si a est négatif, elle est « tournée vers le bas «. b) ? est l'abscisse du sommet de la parabole. c) ? est l'ordonnée du sommet de la parabole. d) o Si ? est négatif (strictement), l'équation admet deux solutions. o Si ? est nul, une solution : x = ?. o Si ? est strictement positif : pas de solution. b) (x + 2)2 + 1 = 0 équivaut à (x + 2)2 = -1, ce qui est impossible, quel que soit le nombre x. PROBLÈME OUVERT (3 + x)2 + (4 + x)2 = (6 + x)2 <=> x2 + 2x - 11 = 0. Deux solutions (une seule positive : x = 213 - 1). EXERCICES 1 a) f(x) = (x + 3)2 - 9. b) f(x) = -3(x - 1)2 + 1. 12 5 -. c) f(x) = x + 2 4 32 9 d) f(x) = 2 x - -. 2 2 8 Réponse : oui, il est possible d'obtenir un triangle rectangle en ajoutant à chaque longueur (213 - 1) unités de longueur. Application (page 28) 2 1. f(x) = x + 3 2 2 - 17 . 4 17 32 = x+ . 4 2 17 Donc pour tout x, f(x) - - 4 2. f(x) - - 0 et f(x) - 17 . 4 3 1. a) f(x) = (x - 2)2 - 2. b) f(x) = (x - 2 + 12)(x - 2 - 12). 2. yA = f(0) = 2. f(x) = 0 pour xB = 2 - 12 et xC = 2 + 12. f(x) = 4 pour (x - 2)2 = 6 soit xI = 2 - 16 et xJ = 2 + 16. Soit : A(0 ; 2), B(2 - 12 ; 0), C(2 + 12 ; 0), I(2 - 16 ; 4) et J(2 + 16 ; 4). 4 a) x(7x + 8) = 0 ; =- 8 ;0 . 7 b) x2 = 6 ; = {- 16 ; 16}. c) (x + 3)2 - 52 = 0 <=> (x + 8)(x - 2) = 0 ; d) (x - 5)2 = 0 ; = {5}. = {- 8 ; 2}. 5 - 417 5 + 417 . ; 2 2 - 4 - 422 - 4 + 422 . ; b) ? = 88 ; = 3 3 c) ? < 0 ; = Ø. 13 d) ? = 0 ; = . 3 5 a) ? = 17 ; Le coefficient de x2 est positif donc x2 + x - 2 est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. -? x 2 x +x-2 -2 + 0 7 a) Le coefficient de x2 est négatif (-10x2), le produit 3 1 est donc positif ou nul entre les racines - et : 5 2 31 =- ; . 52 b) Le coefficient de x2 est positif (2x2), le produit est donc 3 3 strictement négatif entre les racines - 2 et : = - 2 ; . 2 2 c) L'inéquation est équivalente à x(3x + 5) > 0. Le coefficient de x2 est positif (3x2), le produit est donc strictement positif 5 à l'extérieur du segment déterminé par les racines - et 3 5 0 : = - ?; - ? ]0 ; + ?[. 3 a) 16 - (2x - 1)2 = (5 - 2x)(2x + 3). Le coefficient de x2 est négatif (- 4x2) donc l'expression 16 - (2x - 1)2 est négative ou nulle pour : 3 5 ? ;+? . x ? - ?; - 2 2 b) L'inéquation est équivalente à (2x - 4)(x + 5) < 0. Le coefficient de x2 est positif (2x2) donc l'expression (2x - 4)(x + 5) est strictement négative pour x ? ]- 5 ; 2[. c) L'inéquation est équivalente à (3x - 8)(- x - 6) < 0. Le coefficient de x2 est négatif (- 3x2), le produit (3x - 8)(- x - 6) 8 ;+? . est donc négatif ou nul pour x ? ]- ? ; - 6] ? 3 9 1. On peut conjecturer graphiquement que g est audessus de f pour x ? ]0 ; 2[. 2. g(x) > f(x) <=> 6x - 2x2 > x2 <=> 3x(2 - x) > 0. Le coefficient de x2 est négatif (- 3) : le produit 3x(2 - x) est strictement positif entre les racines 0 et 2. +? 1 - 0 + 2 b) - x + 2x - 3 n'a pas de racine (? < 0) et garde donc un signe constant, celui de a, c'est-à-dire négatif. c) 100t2 - 60t + 9 = (10t - 3)2 est toujours positif. Il s'annule 3 en . 10 d) - 2x2 + 5x - 3 a deux racines distinctes car ? = 1 : 3 x1 = 1 et x2 = . 2 = 6 Le triangle BMN est rectangle en M et isocèle donc MN = x et l'aire du rectangle est x(6 - x). 1 x(6 - x) = × 18 <=> x2 - 6x + 6 = 0. 3 ? = 12. Les solutions sont 3 - 13 et 3 + 13. 8 10 a) x2 + x - 2 a pour racines 1 et - 2. -? x 3 2 1 - 2x2 + 5x - 3 - 0 + +? 0 - 11 a) x2 + x - 20 a deux racines 4 et - 5. Il est négatif (du signe contraire de a) entre ses racines. = [- 5 ; 4]. b) x2 - x + 1 n'a pas de racine car ? = - 3, il garde un signe constant, positif (a = 1), donc = Ø. c) ? = 1 ; le trinôme admet deux racines : - 4 et - 3. -? x -4 x2 + 7x + 12 + +? -3 0 - 0 + = ]- ? ; - 4] ? [- 3 ; + ?[. d) ? < 0 ; 7x2 + - 5x + 1 garde un signe constant, positif (a = 7), donc = . 12 x2 < x + 2 <=> x2 - x - 2 < 0. Le trinôme x2 - x - 2 a deux racines : - 1 et 2. Le coefficient de x2 est positif (x2), donc le trinôme est négatif entre les racines : = ]- 1 ; 2[. 13 1. a < 0, ? > 0. 2. = [- 1 ; 2]. 3. Les racines du trinôme étant - 1 et 2, celui-ci se factorise : f(x) = a(x + 1)(x - 2). 3 D'autre part : f(0) = 3 ; donc : a = - . 2 14 1. x2 - 40x + 384 a deux racines : 16 et 24. a > 0, donc il est négatif entre ses racines : = [16 ; 24]. 2. x(40 - x) 384 <=> x2 - 40x + 384 0. Les dimensions x et y de la pelouse doivent être comprises entre 16 et 24 m, avec x + y = 40. 15 a) x + 1 = 1 <=> x2 + x - 1 = 0 et x ? 0 x - 1 - 15 - 1 + 15 <=> x = x1 = ou x = x2 = . 2 2 x2 + x - 1 1 b) x + 1 > <=> > 0. x x x 2 -? 0 x1 x +x-1 + x - x2 + x - 1 x - 0 - - 0 + - 0 +? x2 0 + - + + 0 + Chapitre 1 ? Second degré 9 f est au-dessus de g équivaut à : - 1 - 15 - 1 + 15 ;0 ? ;+? . 2 2 x? 16 a) 3x - 4 = 1 <=> 3x2 - 4x - 1 = 0 et x ? 0 x <=> x = x1 = b) 3x - 4 > -? + x - 3x2 - 4x - 1 x - est au-dessus de 0 x1 3x2 - 4x - 1 f 2 - 17 2 + 17 ou x = x2 = . 3 3 1 3x2 - 4x - 1 <=> > 0. x x x g 0 - 0 + - 0 - x2 + 4x - 1 - x2 - 3x + 2 + + 0 + + - x2 + 4x - 1 x2 - 3x + 2 - x-2 <=> x2 - x + 1 = 0 et (x ? 1 et x ? 2). Or ? < 0 donc il n'y a aucun point commun entre f et g. x+1 x+1 x - 2 - x2 + 1 1 1 > - b) <=> >0<=> >0 (x - 1)(x - 2) x-1 x-2 x-1 x-2 - x2 + x - 1 > 0. <=> (x - 1)(x - 2) (x - 1)(x - 2) est positif à l'extérieur de l'intervalle [1 ; 2]. -? x 1 - x2 + x - 1 (x - 1)(x - 2) + - x2 + x - 1 (x - 1)(x - 2) f - - est au-dessus de g 0 - - 0 x +x-2 2 x -9