topologie et graphes
Publié le 18/11/2011
Extrait du document
L'importance croissante des troupeaux amène à les séparer : " tu vas à droite, je vais à gauche « puis à fixer une ligne à ne pas franchir; du gros rocher au grand arbre. La frontière est née, et celle-ci suffit pour les besoins si l'arbre est assez loin; mais on peut en faire le tour : c'est une frontière ouverte. On peut définir une frontière de façon que son point de départ et son point d'arrivée soient confondus : c'est une frontière fermée. Elle divise la plaine en deux parties : l'intérieur et l'extérieur; et il devient impossible de passer d'un côté à l'autre sans franchir la frontière.
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Connexions
Entre deux points de la frontière, traçons une \igne qui ne touche ou ne coupe pas la frontière en d'autres points.
Nous avons établi une connexion.
Si la frontière d'où nous sommes partis est connexe, nous avons trois régions au lieu de deux .
Par contre si la frontière n' est pas connexe, on peut établir une connexion sans augmenter le nombre des régions (fig.
2).
frontière connexe connexion coupant A en A, et A
frontière non connexe la connexion n'ajoute pas de région
Extension à d'autres surfaces
Au lieu d' un pré, prenons un gros caillou rond (ou un ballon); nous pouvons également tracer sur sa surface une courbe fermée.
Cette courbe divisera la surface en deux parties et on ne peut passer d'une partie à l'autre sans franchir la frontière; on a donc
encore défini deux régions.
Il en sera de même avec de très nombreux solides quelle que soit leur forme.
Par contre si nous essayons d'en faire autant sur un gros bracelet (ou sur une chambre à air), il devient très rapidement évident qu 'on peut tracer des courbes qui ne sont même pas simples sans diviser la surface en deux parties distinctes.
Nous dirons que les premières surfaces sont topo logiquement équivalentes à un plan, alors que la dernière ne l'est pas.
La figure 3 donne
des exemples de ces deux types de surface.
Extension à l'espace
La surface d'un caillou divise l'espace en deux zones, le caillou et l'air ambiant, l'intérieur et l'extérieur.
On ne peut pas passer de l'intérieur à l'extérieur sans franchir la surface qui joue le même rôle que notre frontière fermée.
De même la surface d'un lac ou de la mer sépare l'eau de l'air (dessous et dessus).
Peut-on imaginer des surfaces qui n'aient qu'une seule face.
Prenons une bande de papier longue et étroite ABCD.
Traçons sur elle trois paral lèles au bord le plus long AC, soit GH au milieu EF au 1/3 supérieur JK au 1/3 infé rieur.
Collons-la après une légère torsion de façon que D vienne en A et C en B nous
CUBE la courbe F divise le cube en deux régions A et 8
TORE Malgré le point double la courbe F ne divise pas le tore en deux rt!gions
obtenons une bande d'une surface de Mi:ibins.
En suivant un bord, nous constaterons tout d'abord que la surface n'en a qu'un; en suivant la surface sans franchir le bord nous constaterons de même qu'elle n'a qu'une face.
Nous laissons au lecteur intrigué par cette surface le soin de vérifier :
:~-----------------~: G------------------ H J ------------------K
B D
Surface de Mliblue..
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