NUMÉRATION CALCUL ANALYSE COMBINATOIRE

« rations en représentant chaque nombre de un à neuf par un signe différent (chiffre) et en écrivant tout simplement les nombres des unités de chaque ordre à la suite les uns des autres.

On retrouve l'idée qui préside à l'écriture, par exemple, de 1971.

Mais une difficulté apparaît, immédiatement semble­ t-il :nous avons parlé de deux cent trois têtes, très facile à énoncer sans ambiguïté, facile aussi à écrire en chiffres romains, CCIII; mais comment l'écrire avec nos signes ? Il faut manifester, d'une manière ou d'une autre.

qu'il n 'y a pas de dizaines.

L 'invention du zéro pour signaler l'absence d'unités d'un certain ordre allait faire faire un grand pas à la numération et nous permettre d'écrire avec facilité 203, 907 ou 1970.

Découvert par les Babyloniens assez tard pour que nous ayions quelques doutes sur la valeur exacte des nombres que nous trouvons sur de nombreuses tablettes, adapté à la numération décimale par les Hindous au début de notre ère, il fut recueilli par les Arabes au 1xe siècle.

Cette numération arabe accompagnée des règles de calcul correspondantes (algorithmes) arriva au xe siècle dans les pays d'Europe méridionale occupés par les Musulmans.

De là elle se répandit progressivement dans l'occident latin où elle supplanta peu à peu la numération romaine, tandis que les pro­ cédés " modernes " de calcul remplaçaient lentement les anciennes méthodes de calcul concret sur les doigts, les abaques ou les tables à calcul.

Adoptés par tous les savants dès le xv e ou le xvie siècle, cette numération et ce calcul ne devaient triompher définitive­ ment qu'au xvnie siècle dans les milieux commerciaux et financiers.

La phrase précé­ dente montre d'ailleurs que le triomphe absolu de la numération .

décimale sur la numération romaine n'est pas encore assuré.

LE CALCUL L'écriture des nombres d'une manière systématique a permis de trouver des règles de calcul simples permettant d'effectuer ra­ pidement des opérations, dès que les résultats des additions, soustractions, multiplications et divisions des nombres du premier ordre étaient connus.

Il parait inutile de les rap­ peler ici.

Cependant, il convient de noter que nos règles opératoires standardisées par l'enseignement ne sont pas les seules qui peuvent être employées et que la standar­ disation internationale n'est pas telle que ce qui nous parait évident le soit dans le monde entier.

Voir pour la première fois un Améri­ cain faire une division produit un choc à tout élève de l'enseignement du premier degré français, comme la lecture de documents de la même nationalité comprenant les nombres 103, 687 et.

272 (103 687 et 0, 272) peut poser 6 4 2 t ' ' 8 ' ' 2 ' ' 6 ' ' ' ' ' ' 1 ' ' 1 ' ' 0 ' ' ' ' 2 ' 8 ' ' 4 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 ' ' 2 ' 1 ' ' ' ' 3 7 4 6 8 642 x 73 46,866 Multiplication arabe.

quelques problèmes.

A titre de curiosité, nous représentons sur la figure 1 la multiplication de 642 par 73 par la méthode arabe.

Les chiffres du multiplicateur et du multipli­ cande sont écrits de gauche à droite et de bas en haut.

Les produits peuvent être effectués dans n'importe quel ordre.

Les totaux sont effectués par colonnes obliques en com­ mençant par la colonne en haut à droite (un seul chiffre), les retenues sont portées dans la colonne suivante et le résultat est lu en suivant la flèche de la gauche vers la droite.

Un autre système que nous aurons l'occa­ sion de retrouver quand nous étudierons la numération binaire est celui de la multipli­ cation dite "à la russe "· Elle a l'avantage de ne nécessiter que la connaissance de l'addi­ tion et de la division par deux.

Soit à multiplier 57 par 16 on peut écrire, en effectuant sur le premier nombre une suite d'additions de nombres égaux (correspondant à la multiplication par deux) et sur le deuxième nombre une suite de divisions par deux des produits successifs tous égaux.

57 16 114 8 228 4 456 2 912 1 le résultat est 912.

Si les deux nombres sont impairs , 57 et 19 par exemple, on opère de la même façon en notant soigneusement les restes de la division : 57 19 (1) 114 9 (1) 228 4 456 2 912 1 le résultat n'est pas 912 mais le total de 912 et de 57 et 114 que l'on a précédemment mis de côté 912 + 57 + 114 = 1 083. »