MATHÉMATIQUES : l'Algèbre moderne

« Relations d'ordre Une relation est dite d'ordre total sur l'en­ semble A si elle est à la fois réflexive, anti­ symétrique et transitive sur A.

Dans l'ensemble N des nombres naturels la relation « a est inférieur ou égal à b >> notée < est une relation d'ordre total, en effet : a < a puisque a = a a < b et b < a sont incompatibles pour a -=F b a < b et b < c impliquent a < c une relation peut n'ordonner qu'un sous ensemble de A la relation est dite d'ordre partiel.

Par exemple, dans l'ensemble N la relation a 1 b est une relation d 'ordre partiel car elle ne permet pas : par exemple, d'or­ donner 8 et 17 (8 ne divise pas 17 et 17 ne divise pas 8) alors qu'elle permet d'ordonner 2, 4, 8, 16, 32 ..

.

Chaînes Le sous-ensemble &totalement ordonné par une relation d 'ordre partiel dans A est dit former une chaine.

S'il n'existe aucune autre chaine de A dont B soit un sous-ensemble, B forme une chaine maximale.

Par exemple dans (N-O) (ensemble des nombres naturels non compris 0) p• ou n e.N et p premier ordonné par < forme une chaine maximale.

Majorant, minorant Soient deux ensembles A et B avec A c B totalement ou partiellement ordonnés par une relation d'ordre quelconque que pour simplifier, nous noterons ~ : un intervalle fermé 1 noté 1 = [a, b] a, b e B est l'ensemble des ne A tels que a < n < b un intervalle ouvert 0 noté 0 = ]a, b[ a, b e B est l'ensemble des n e A tels que a < n < b Tout nombre M e B tel que n < M pour tout n e A, est appelé majorant de A.

Tout nombre rn e B tel que rn < n pour tout n e A est appelé minorant de A.

Le plus petit majorant s'il existe et le plus grand minorant s'il existe sont appelés bornes (supérieure ou inférieure) de A.

Treillis On appelle treillis un ensemble T partiel­ lement ordonné tels que deux éléments quel­ conques a et b de T aient une borne supé­ rieure et une borne inférieure appartenant à T.

On note: borne supérieure de a b = a Vb borne inférieure de a b = aAb par exemple l'ensemble P (E) des parties d'un ensemble E non vide ordonné par l'inclusion est un treillis.

Soient deux parties A et B quelconques de E on a : AVB = AUB AAB = AClB l'union et l'intersection définissant bien res­ pectivement le plus petit des ensembles conte­ nant à la fois A et B et le plus grand des en­ sembles contenus dans A et dans B.

Elles appartiennent toutes deux à P (E) (fig.

3).

AUB A B.

A nB Treillis de 2 ensembles ordonnés par l'union et l'Inter· section.

De même l'ensemble (N- 0) ordonné par a 1 b est un treillis .

Nous avons vu que a 1 b détermine dans l'er..semble considéré un ordre partiel.

Pour deux nombres quelconques a et b, ·dans la chaine à laquelle appartient a il a pour minorants ses diviseurs et pour majorants ses multiples, de même pour b.

Leur borne supérieure commune est donc le plus petit multiple commun à a et à b et la borne inférieure leur plus grand diviseur commun.

Quelques représentations peuvent aider à mieux comprendre la raison de la dénomi­ nation de treillis soit : un point a on peut représenter l'ensemble des nombres entiers non nuls par un demi plan c~upé p_ar d~ux droites se rencontrant en a.

Le tnangle mféneur contient tous les minorants de a et le triangle supérieur tous les majorants de a, le reste du plan représente les points qui ne peuvent pas être ordonnés par la relation a lb.

En recommençant pour le nombre b on a le deuxième schéma de la figure 10.

De même représentons un treillis à 3 di­ mensions d'un ensemble de trois éléments ordonnés par l'union et l'intersection.

La représentation a l'allure d 'un cube (fig.

11).

On peut d'ailleurs s'ax:nuser _à faire.

un voyage dans la quatrième dimensiOn.

AJoutons un élément d à l'ensemble, le cube que nous avons dessiné appartient au treillis, dessinons­ en un deuxième et mettons l'ensemble { d} au sommet inférieur, joignons les som_mets de nos deux cubes nous obtenons une figure qui donne toutes les unions des éléments de l'ensemble { a, b, c, d } (fig.

1~).

Nous la~ssons aux lecteurs artistes et patients le som de tracer le treillis d'un ensemble à cinq ou plus de cinq éléments.. »