MATHÉMATIQUES ANALYSE INFINITÉSIMALE NOTIONS DE LIMITE ET DE FONCTION CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL

« nouveaux qui sont à l'origine du calcul diffé­ rentiel et intégral.

Il y avait, d'une part, le problème des tangentes qui consistait à déter­ miner la pente de la tangente en un point donné d'une courbe et d'autre part le problème des aires (ou des quadratures) qui consistait à calculer la surface délimitée par une courbe donnée.

En fait, ces deux problèmes sont inverses l'un de l'autre et vers la fin du xvu• siècle, on s'est aperçu de leur lien.

On donnait alors au problème des quadratures le nom de « problème inverse des tangentes».

Ce n'est qu'au xv1u• siècle grâce aux travaux d'EULER que furent jetées les véritables bases de l'analyse mathématique ct c'est seulement au début du x1x• siècle que Cauchy précisa réellement la très importante notion de fonc­ tion.

LA NOTION DE FONCTION Le concept général de fonction est apparu très tard en mathématiques et cela est d'autant plus étonnant qu'il s'agil d'un concept très simple qui n'est rien d'autre dans sa forme discon­ tinue que la traduction d'une relation de cause à effet.

Ce concept de fonction, ou encore de dépen­ dance, qu'il est très facile de faire comprendre à un enfant, n'a toujours pas droit de cité à l'école primaire.

Les candidats au certificat d'études doivent encore utiliser d'obscures et incohérentes recettes telles que la règle de trois pour résoudre des problèmes dont la solution fonctionnelle serait extrêmement simple.

Pre­ nons pour exemple le problème suivant : dans le service de rédaction d'un journal, quinze dactylos travaillent dix heures pour frapper 750 pages de texte par jour; combien de temps travailleraient vingt dactylos qui auraient 800 pages de texte à frapper ? La sol ut ion dite arithmétique conduit à dire que : si 15 dactylos mettent 10 heures pour frapper 750 pages, A gauche, Léonhard Euler, mathématicien suisse (1707-1783) (Photo Boyer-Viollet) Ci-contre, Augustin Cauchy, mathématicien français (1789-1857) (Photo Boyer-Viollet) 1 dactylo met 150 heures pour frapper 750 pa­ ges et par conséquent : 20 dactylos mettront 7 h 30 pour frapper 750 pages; maintenant, si 20 dactylos mettent 7 h 30 pour frapper 750 pages, elles mettront 36 secondes pour frapper 1 page (1) et par conséquent 8 heures pour frapper 800 pages.

La solution fonctionnelle nous aurait conduit à énoncer que le lemps nécessaire T est pro­ portionnel à la variable «nombre de pages » P cl inversement proportionnel à la variable «nombre de dactylos » D; cc qui s'écrit p T =k -.

D La situation antérieure nous permet de déter­ miner la valeur de la constante k en écrivant 750 10 = k soit k 15 5 1 800 on calcule alors T =- X - - = 8 heures.

5 20 La fonction est un être mathématique destiné à exprimer une loi , une correspondance, une relation de causalité.

Elle sc définit de la façon suivante : Considérons une grandeur x qui peut prendre une suite de valeurs x, x,, ...

X0 ••• Soit un phénomène y lié à la grandeur x, la liaison entraînant une correspondance telle qu'à chaque valeur x, correspond une valeur y, bien déterminée.

On dit alors que la grandeur y est une fonction de la grandeur x (dépend de x) et on exprime ccci en abrégé par l'expression y = f (x) qui se lit y est fonction de x.

(1) Soulignons au passage l'absurdité de l'hYJ>othèse à laquelle nous conduit un tel raisonnement .. »