La géométrie (Sciences & Techniques)

« théorème à démontrer, et se terminaient par la phrase triomphante quid erat demonstrandum : "ce qu'il fallait démontrer"(CQFD). Ainsi, les Grecs pratiquaient une géométrie dite démonstrative, c'est-à-dire fondée sur une utilisation du langage qui confronte lesarguments pour démontrer un théorème.

Ils posaient des problèmes dont la résolution impliquait la construction d'une figure avecune règle et un compas.

Les treize livres des Éléments constituèrent le corpus de référence de la géométrie jusqu'au XIXe siècle.En particulier, le postulat d'Euclide le plus connu, qui stipule que par un point extérieur à une droite on ne peut tracer qu'une seuleparallèle à la droite, constitue l'un des fondements de la géométrie dite euclidienne, qui est celle que l'on étudie dans les collègeset les lycées.

Parmi les plus illustres mathématiciens de la Grèce antique, on peut encore citer Archimède (v.

287 - 212 av.

J.-C.)qui étudia les caractéristiques des figures géométriques, comme la surface et le volume de la sphère. La trigonométrie La trigonométrie, introduite par l'astronome grec Hipparque (v.

190 - 120 av.

J.-C.) et le mathématicien et astronome grecPtolémée (v.

100 - 170), fut l'une des premières applications pratiques de la géométrie. L'usage de triangles rectangles et de leurs proportionnalités numériques permit de calculer des hauteurs sans les mesurerdirectement : c'est le principe du théodolite, instrument avec lequel le géomètre vise le sommet dont il veut mesurer la hauteur,celui d'une tour par exemple, et note l'angle de visée par rapport à l'horizontale.

La tour forme un angle droit avec l'horizontale.Ainsi, si le géomètre connaît sa distance au pied de la tour, il lui suffit d'utiliser les tables trigonométriques (du sinus, du cosinus,de la tangente) pour déterminer la hauteur cherchée. La géométrie analytique Malgré l'important développement des outils mathématiques en Grèce antique, la géométrie restait insuffisante : de nombreuxproblèmes n'étaient toujours par résolus par manque de règles générales.

Ainsi, au début du XVIIe siècle, les mathématiciensfrançais René Descartes (1596 - 1650) et Pierre de Fermat (1601 - 1665) tentèrent d'employer des équations pour modéliserles problèmes de géométrie. Descartes eut l'idée d'appliquer l'algèbre à la géométrie - l'algèbre est la branche des mathématiques qui se sert de lettres pourreprésenter les relations arithmétiques.

Dans son ouvrage La géométrie (1637), il repéra la position de tout point dans un plan pardeux nombres, appelés coordonnées cartésiennes, notées généralement x et y.

Il introduisit également l'équation cartésienne d'unecourbe quelconque, c'est-à-dire la relation vérifiée par les coordonnées des points constituant la courbe, relation du type f (x, y)= 0 qui dépend du repère considéré. Il s'intéressa tout particulièrement aux coniques, courbes du second degré.

Descartes, montrant la puissance des outilsalgébriques, fut le fondateur de la géométrie analytique plane.

Cette dernière résout, à partir des coordonnées des points du planmuni d'un repère dit cartésien, le calcul des distances, des aires, les produits scalaires et vectoriels des vecteurs.

Au XVIIIesiècle, elle fut généralisée à l'espace par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783). Ce n'est que dans la seconde moitié du même siècle que la géométrie analytique se développa considérablement, devenant plusqu'une simple application de l'algèbre à la géométrie. Le mathématicien et astronome français Joseph Louis de Lagrange (1736 - 1813) établit, dans les années 1770, les équations dela droite et du plan ; il introduisit également l'usage systématique des trois axes de coordonnées et simplifia les calculs et lesnotations. Puis le Français Gaspard Monge (1746 - 1818) développa une théorie regroupant l'analyse, l'algèbre et la géométrie, créant ainsila géométrie descriptive, technique de représentation plane des figures tridimensionnelles à la base du dessin industriel.

Professeurà l'École polytechnique, il fit un exposé d'ensemble de la géométrie analytique moderne. Au XIXe siècle, la géométrie analytique utilisa les développements récents de l'analyse, de la théorie des groupes et de lagéométrie projective.

Ainsi, des mathématiciens allemands généralisèrent la notion de coordonnée et inventèrent de nouvellesméthodes de calcul : le mathématicien et physicien Julius Plücker (1801 - 1868) introduisit, à partir de 1828, la notion decoordonnée homogène.

Il établit également une théorie pour étudier les courbes : étude des points doubles, des points derebroussement, d'inflexion...

Le mathématicien allemand August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) introduisit les coordonnéesbarycentriques en 1827.

Au XXe siècle, la géométrie analytique s'est confondue avec les géométries projective, infinitésimale et. »