Grand oral maths: Comment fonctionne un GPS ?

« Sujet de Grand Oral de Physique-Chimie QUESTION : Comment fonctionne un GPS ? Introduction : Bonjour, membres du jury, aujourd'hui, je vous propose de plonger dans le monde fascinant du GPS et vous expliquer son fonctionnement de manière concise et captivante.

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Ce système de navigation par satellites est devenu un incontournable de notre quotidien, nous permettant de nous situer avec précision et de nous orienter facilement. On peut donc se poser une question : Comment le GPS fonctionne-t-il ? Le GPS repose sur le principe de triangulation pour déterminer avec précision notre position en utilisant les signaux des satellites en orbite autour de la Terre.

Il est essentiel de recevoir les signaux d’au moins 4 satellites, car chaque satellite fournit une mesure de distance différente.

Mais on se penchera sur le 4ème un peu plus tard. Chaque satellite envoie des ondes en continu (entre 19 et 24 cm) pour pouvoir localiser le boîtier GPS. Lorsque nous recevons les signaux des satellites GPS, nous mesurons le temps de propagation pour calculer la distance entre notre récepteur GPS et chaque satellite.

Nous effectuons la triangulation en trouvant l'intersection de trois sphères centrées sur chaque satellite. Le premier satellite envoie onde se déplaçant à la vitesse de la lumière (constante fondamentale de la physique, environ 299 792 458 m/s.) et grâce à la relation D = V × Δt.

Cela va permettre de déterminer la distance entre le premier satellite et le boîtier GPS.

En caractérisant les coordonnées x, y et z par rapport au référentiel géocentrique, on pourra tracer une sphère de centre x, y, z et de rayon D.

Il faut ensuite répéter l’opération pour les 2 autres satellites. À ce stade, nous avons donc trois sphères, et l'intersection de trois sphères peut donner 0, 1 ou 2 points.

Dans le cas où il y a deux points d'intersection, nous pouvons généralement éliminer l'une des solutions car elle serait absurde par rapport au point recherché.

Ainsi, dans la majorité des cas, nous obtenons une unique solution.

Cette intersection correspond à notre position géographique. Ce théorème peut être démontré à l'aide de matrices, ce qui nous permet d'obtenir directement les solutions sans passer par des méthodes plus longues de résolution. En suivant ces différentes étapes, nous pouvons déterminer les coordonnées géométriques du point d'intersection.

Cela nous permet ensuite de calculer la latitude et la longitude de ce point. ¤ Une question peut donc être poser, quelle est la vitesse d’un satellite ? La vitesse des satellites en orbite peut être expliquée à l'aide de la deuxième loi de Newton.

Selon cette loi, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est équilibrée par la force centrifuge, ce qui crée une trajectoire circulaire stable. En utilisant l'équation F = ma, où F est la force gravitationnelle, m est la masse du satellite et a est l'accélération, nous pouvons relier cette force à la vitesse du satellite. En considérant un mouvement circulaire uniforme, l'accélération centripète est donnée par a = v^2/r, où v représente la vitesse du satellite et r est le rayon de son orbite. En égalant ces deux expressions d'accélération, nous obtenons v^2/r = F/m.

En substituant F = G * (M * m) / r^2 (loi de la gravitation universelle) dans cette équation, nous simplifions pour.... »