Grand oral du bac : CHAOS ET CATASTROPHE

« � z u t 0 Chaos et catastrophe Le terme chaos a été introduit en 1975 par le mathématicien Jim Jorke.

Le développement de cette théorie a été rendue possible grâce aux pro­ grès réalisés en informatique (calcul numérique).

La sensibilité aux conditions initiales La plupart des phénomènes chaotiques sont extrê­ mement sensibles aux conditions initiales.

En effet, deux états initiaux assez proches conduisent, en un temps plus ou moins long, à deux situations qui peuvent être très différentes l'une de l'autre.

Tout phénomène chaotique est lié à un temps caractéristique.

Si on observe un phénomène chaotique sur une durée nettement inférieure à ce temps, aucune anomalie n'apparaîtra, et il ne sera donc pas chaotique.

Par exemple, on a mon­ tré que la Terre a un mouvement chaotique dans sa révolution autour du Soleil, avec un temps caractéristique de l'ordre de cinq millions d'an­ nées.

Cependant, à l'échelle humaine, ce mouve­ ment nous semble parfaitement régulier.

Mais les scientifiques ne peuvent pas prévoir la trajectoire de notre planète dans cent millions d'années.

Plus généralement, les constituants du système solaire (planètes, satellites, comètes, etc.) suivent une trajectoire instable sur leur orbite, qui peut devenir chaotique.

En météorologie, les prévisions sont assez fiables sur une durée de vingt-quatre heures.

En revanche, prédire le temps qu'il fera dans un mois fait intervenir une imprécision inacceptable scientifiquement.

En fait, la connaissance de l'état présent des phénomènes atmosphériques est imprécise, mais cette incertitude étant très faible, elle est donc négligeable lorsque le temps est prévu sur un jour.

Plus on souhaite prévoir le temps sur une durée importante, plus cette incer­ titude est grande, et les prévisions sont d'autant plus imprécises.

Les attracteurs étranges La notion abstraite d'attracteur étrange a été introduite par le physicien français David Ruelle et le mathématicien hollandais Floris Takens, à la fin des années 1960.

Si on peut définir l'état d'un système par seulement trois paramètres, on peut alors le symboliser par un point dans un espace à L'écoulement des ! fluides est un des a phénomènes physiques mettant en évidence des comportements chaotiques: ainsi des mouvements réguliers peuvent devenir turbulents.

Les attracteurs ...,_.

étranges sont des structures chaotiques qui révèlent des étirements et des repliements dans un système déterministe.

trois dimensions.

L'évolution du système est alors représentée par la trajectoire du point sur une courbe.

Considérons deux situations proches, représentées par deux points voisins l'un de l'autre.

Quand le système n'est pas chaotique, les deux points décrivent deux courbes très proches l'une de l'autre, tout en restant voisins.

Dans le cas contraire, les deux trajectoires se séparent d'autant plus rapidement que le temps caractéris­ tique est court.

Au fur et à mesure, le système évolue vers des états de plus en plus distincts.

En fait, les courbes obtenues semblent pouvoir se mouvoir n'importe où dans l'espace.

L'attracteur est l'ensemble des points ainsi obtenus.

Généra­ lement, il présente une dimension qui n'est pas un nombre entier, appelée dimension fractale.

Cela signifie qu'un état pris au hasard ne pourra pas être atteint, mais le système pourra s'en approcher très près.

Voilà pourquoi ces attrac­ teurs, qui présentent souvent un aspect esthé­ tique, sont qualifiés d'étranges.

Applications On applique aussi la théorie du chaos en biologie, en économie et en chimie.

De nombreux phéno-mènes physiologiques sont chaotiques.

Par exemple, les battements du cœur suivent un mou­ vement chaotique, correspondant à de petites irrégularités.

Les réactions chimiques à caractère chaotique, elles, sont très rares.

En physique, de nombreux phénomènes sont chaotiques, notam­ ment le mouvement brownien, mouvement aléa­ toire de particules microscopiques en suspension dans un liquide ou un gaz.

Il est dû aux multiples chocs du fluide sur les particules.

On a également mis en évidence des phénomènes chaotiques dans les lasers, dans les semkonducteurs et dans l'écoulement turbulent des fluides.

Plus qu'une notion complexe, la théorie du chaos est une nouvelle façon d'envisager la science.

Elle a montré que chaos et détermi­ nisme pouvaient tout à fait se compléter, ce qui aurait été impensable au début du XX" siècle.

La théorie des catastrophes La théorie des catastrophes a été introduite en 1968 par le mathématicien français René Thom (né en 1923).

Il s'agit d'un système tentant d'expliquer les catastrophes naturelles-événe- ments discontinus dans le temps -au moyen de la topologie, branche de la géométrie qui étudie les propriétés mathématiques invariables lors de transformations géométriques subies par des objets.

Par exemple, lorsqu'un espace est courbé, ou plus généralement déformé, certaines de ses caractéristiques ne changent pas et sont donc l'objet de la topologie.

Selon la théorie des catastrophes, on ne peut expliquer les catastrophes naturelles par la simple résolution d'équations différentielles (équations mathématiques faisant intervenir une fonction et une ou plusieurs de ses fonctions dérivées).

La théorie des catastrophes s'attache à faire ressortir la discontinuité de certains événements, ou singu­ larités, alors que de nombreuses théories traitent les problèmes à l'aide de calculs où la disconti­ nuité apparaît exceptionnelle.

La théorie des catastrophes considère un évê­ nement discontinu comme faisant partie d'un espace appelé substrat.

Elle tente d'appr�hender l'origine physique de ce dernier à l'aide d'outils purement mathématiques.

Elle a la particularité de pouvoir s'appliquer à des domaines qu'il est difficile de formaliser, parmi lesquels on peut citer la biologie ou la linguistique.. »