Espaces vectoriels et Groupes d'opérateurs
Publié le 18/11/2011
Extrait du document
LES MATRICES
Inventées au xixe siècle par SYLVESTER, développées par CAYLEY, les matrices proviennent de l'étude des substitutions linéaires et homogènes portant sur deux variables réelles. Nous les avons introduites dans l'étude des espaces vectoriels. Le calcul matriciel fut longtemps considéré comme une branche purement spéculative des mathématiques, car il conduit à des calculs qui, à la main, sont d'une longueur parfois fort grande dès que les matrices dépassent une dimension réduite. Depuis que l'on dispose de moyens de calcul rapides et puissants, le calcul matriciel s'est considérablement développé. De nos jours, il envahit à peu près tous les domaines des mathématiques appliquées, de la mécanique quantique à l'économie. C'est pourquoi nous lui consacrons un chapitre plus étendu que les quelques notions que nous avons données à propos des espaces vectoriels.
«
q
B
(q)
r-:--____t:P __ f-:-;;---!--q:l--f-;-- --------- A AB
n n
Schéma de multiplication possibilités d'extenaion.
de
deux matrices et des
même ensemble np.
Il faut que le nombre des colonnes de A, matrice de gauche de la multi plication soit égal au nombre des lignes de B matrice de droite.
Dans ces conditions le produit d'une matrice (np) par une matrice (p, q) est une matrice (nq) dont l'élément général est : p Cil = :E a1k bkl = an b11 + a12 b21 + ....
.....
+ a,P bpJ
La figure 1 schématise le processus d' obten tion; elle constitue d 'ailleurs une bonne pré sentation de feuille de calculs si on a plusieurs multiplications successives de matrices à faire à la main car elle permet d'utiliser facilement les résultats précédents sans avoir à les récrire.
En règle générale, le problème de la com mutativité de la multiplication ne se pose pas :
si on pe ut multiplier une matrice (np) par une matrice (pq), on ne peut pas en général mul tiplier une matrice (pq) par une matrice (np); ce n'est possible que dans deux cas :
1° multiplication d'une matrice (np) par une matrice (pn).
On obtient dans un cas une matrice (pn) et dans l'autre une matrice (np), par exemple :
(a1 a2) (::) = at bt + a2 b2 = À scalaire
( b
1
at
') vecteur b 2 a2
2o multiplication de deux matrices carrées
(n, n) qui va faire l'objet du paragraphe suivant.
Matrices carrées
Les matrices carrées (n, n) sont dites d'ordre n.
L'addition et la multiplication des
matrices sont possibles .
Elles forment un anneau non commutatif à élément unité :
1 = (~.
~.
j .
?.
?) 0 0 : 0 1
dont tous les éléments s-auf ceux de la diago
nale principale (au) sont nuls, ceux de la diagonale principale étant égaux à 1.
Dans cet anneau il y a des diviseurs de 0, par exemple :
( 1 - 2)
- 1 2 (
4 - 1)
2- t = 0
Déterminant
L'étude des matrices carrées est insépa rable
de la notion beaucoup plus ancienne de déterminant.
Ces déterminants, en effet, semblent avoir été connus des Chinois dès le début de l'ère Chrétienne.
On appelle déterminant d'une matrice carrée (n, n) la somme des n l produits a1~ a2~ a3y ...
an À où ( ~.
~ .
.
.
.
.
À) est une
permutation des nombres (1, 2 . ...
n) de signatures (on rappelle que la signatures est (- 1)T, Tétant le nombre de transpositions, ou d'échanges de 2 éléments, nécessaire pour passer de l'ordre 1, 2 ... .
n à l'ordre ~.
~.
..... .
À).
on écrit:
1 aul
au at2 ...
ain
D
anl an2 ...
ann
:E s.a 1~ a2~ •••• anÀ
pour les premiers déterminants on a :
1 a 1 a
1
ab 1 = ad- be cd 1
1
~~~ 1 = aei + bfg + cdh -ceg- bdi- afh ghi
ce calcul serait proprement inextricable si on ne pouvait pas calculer les déterminants de
proche en proche.
En effet, en supprimant la ligne i et la colonne j on obtient un déter minant d'ordre (n - 1) appelé mineur de a'l·
On appelle cofacteur A 11 le nombre :
Ail = (- 1)1+1 min (ail)
On
peut établir la relation :
D
= a11 At 1 + a21 A21 + .
.
.
.
.
.
.
an1 An1
qui est le développement de D par rapport à la j•m• colonne (on définirait de même un développement par rapport à la jèine ligne.
»
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