CHO1
Publié le 11/09/2018
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CH 01 : Fonctions, équations et inéquations 1) Intervalles 1-1 Ensemble des nombres réels Les abscisses des points d’une droite graduée sont des nombres réels. L’ensemble de ces nombres est noté . L’ensemble vide se note . remarques : • 0,7 ; 0 ; 1 et 5 2 sont des nombres rationnels. Ils s’écrivent sous forme de fractions. • 3 et sont des nombres irrationnels. 1-2 Intervalles D1 : (1) L’intervalle a b; est l’ensemble des nombres x tels que : a x b . (2) L’intervalle a b; est l’ensemble des nombres x tels que : a x b . (3) L’intervalle a; est l’ensemble des nombres x tels que : x a . (4) L’intervalle ;b est l’ensemble des nombres x tels que : x b . exemples : (e1) 1 3 1;3 x x (e2) x x 2 2; (e3) x x 0 ;0 R1) On définit de la même façon les intervalles a b; , a b; , a; et ;b. R2) est parfois noté ; . R3) Il est parfois nécessaire d’utiliser l’intersection ou la réunion d’intervalles, notamment dans la résolution de systèmes d’inéquations ou la donnée de domaine de définition. exemples : (e1) Intersection de deux intervalles On résout graphiquement le système : 1 3 2 x x . (tout ce qui est coloré deux fois) On obtient : 1;3 2; 2;3 . Le système a pour ensemble solution 2;3. (e2) Réunion de deux intervalles On résout graphiquement le système : 1 3 ou 2 5 x x . (tout ce qui est coloré) On obtient : 1;3 2;5 1;5 . Le système a pour ensemble solution 1;5 . (e3) L’expression 1 x 2 est définie pour x 2 , soit sur ;2 2; ( privé de 2). On dit que 2 est une valeur interdite de l’expression. 2) Fonctions, équations et inéquations 2-1 Vocabulaire des fonctions D2 : D est une partie de (intervalle ou réunion d’intervalles). (1) Définir une fonction f sur D , c’est associer à tout nombre x de D un nombre unique, noté f x , appelé image de x par f . On dit que D est le domaine de définition de f et on le note Df . (2) Lorsque b est l’image de a par f , soit : f a b , on dit que a est un antécédent de b par f . (3) La courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur Df est l’ensemble des points M ;f x x , où x décrit Df . (4) On dit que la courbe Cf a pour équation : y x f . exemples : (e1) f est définie sur 1;5 par la courbe ci-contre. L’image de 4 par f est 1, soit : f 4 1 . Les antécédents de 3 par f sont 2 et 5. (e2) g est définie par le tableau. L’image de 7,99 par g est 1 058, soit : g 7,99 1058 . Un antécédent de 1 053 par g est 7,97. (e3) h est définie sur par la formule : 2 h 3 x x . On calcule : 2 h 0 0 3 , soit : h 0 3 . L’image de 0 par h est 3 . On résout : 2 h 1 4 2 ou 2 x x x x . Les antécédents de 1 par h sont 2 et 2. 2-2 Lecture graphique Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g . k est un nombre réel. P1 : (1) Les solutions de l’équation : f x k sont les abscisses des points de Cf d’ordonnée k . (2) Les solutions de l’inéquation : f x k sont les abscisses des points de Cf d’ordonnée inférieure à k . P2 : (1) Les solutions de l’équation : f g x x sont les abscisses des points d’intersection des Cf et Cg . (2) Les solutions de l’inéquation : f g x x sont les abscisses des points de Cf situés au-dessous de Cg . exemples : (e1) (e2) (e1) L’équation : f 2 x a pour solutions 1 et 0. L’inéquation : f 2 x a pour ensemble solution 1;0. (e2) L’équation : f g x x a pour solutions 3 ; 1 et 5. L’inéquation : f g x x a pour ensemble solution 3;1 5;6 .
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2) Fonctions, équations et inéquations
2-1 Vocabulaire des fonction s
D2 : est une partie de (intervalle ou réunion d’intervalles) .
(1) Définir une fonction sur , c’est associer à tout nombre de un nombre unique , noté , appelé
im age de par .
On dit que est l e domaine de définition de et on le note .
(2) Lorsque est l’image de par , soit : , on dit que est un antécédent de par .
(3) La courbe représentative d’une fonction définie sur est
l’ensemble des points , où décrit .
(4) On dit que la courbe a pour équation : .
exemples :
(e1) est définie sur par la courbe ci-contre .
L’image de 4 par est 1, soit : .
Les antécédents de 3 par sont 2 et 5.
(e2) est définie par le tableau .
L’image de 7,99 par est 1 058, soit : .
Un antécédent de 1 053 par est 7,97.
(e3) est définie sur par la formule : .
On calcule : , soit : .
L’image de 0 par est .
On résout : .
Les antécédents de 1 par sont et 2.
2-2 Lecture graphique
et sont les courbes représentatives des fonctions et .
est un nombre réel.
P1 :
(1) Les solutions de l’équation : sont le s abscisses des points de d’ordonnée .
(2) Les solutions de l’inéquation : sont les abscisses des points de d’ordonnée inférieure à .
P2 :
(1) Les solutions de l’équation : sont les abscisses des points d’intersection des et .
(2) Les solutions de l’inéquation : sont les abscisses des points de situés au -dessous de .
exemples : (e1)
(e2)
(e1) L’équation : a pour solutions et 0.
L’inéquation : a pour ensemble solution .
(e2) L’équation : a pour solutions ; 1 et 5.
L’inéqua tion : a pour ensemble solution .
D f D x D f x x f D f fD b a f f ab a b f fC f fD M ; f xx x fD fC f yx f 1; 5 f f 4 1 f g g g 7, 99 1058 g h 2 h3 xx 2 h 0 0 3 h 0 3 h 3 2 h 1 4 2 ou 2 x x x x h 2 fC gC f g k f xk fC k f xk fC k fg xx fC gC fg xx fC gC f2 x 1 f2 x 1; 0 fg xx 3 fg xx 3;1 5; 6.
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