CHAOS, FRACTALES, COMPLEXITÉ SYSTÈMES Dans la deuxième moitié du XXe siècle, le langage de la science s'est en partie modifié, et on a assisté à la création de nouvelles expressions révélatrices de nouvelles conceptions, de nouveaux points de vue qui ont fait leur apparition les uns après les autres dans le cadre d'une tentative ininterrompue pour comprendre le monde. Parmi ces nouvelles expressions figure celle de « système dynamique ». En termes intuitifs, un système dynamique est un système quelconque présentant une évolution dans le temps. Le mot « dynamique » provient de la science classique. Dynamis, en grec, signifie « force », et, précisément, l'étude du mouvement des corps, déterminé par l'application des forces, a été l'un des thèmes les plus importants de la mécanique classique. Parmi les systèmes dynamiques étudiés par la mécanique, on trouve par exemple un corps en chute libre (thème qui fit l'objet des recherches de Galilée), un pendule qui oscille ou même le système solaire tout entier, comprenant l'ensemble des planètes qui parcourent des orbites autour du Soleil. Mais la nouveauté dans les conceptions les plus récentes consiste à parler de « systèmes » dans un sens plus large, c'est-à-dire à considérer non seulement les systèmes mécaniques, mais aussi d'autres phénomènes ou d'autres situations, comme par exemple une réaction chimique entre différentes substances mélangées dans une éprouvette, un écosystème naturel dans lequel coexistent et luttent pour l'existence différentes espèces, le fonctionnement de l'appareil circulatoire de l'homme, ou l'évolution de l'économie d'un pays. Il n'est pas jusqu'à l'évolution de l'équilibre stratégique existant entre deux puissances militaires qui ne puisse être étudié comme un système. Le terme « système » provient lui aussi du grec systema, qui veut dire « réunion », et indique le fait que l'agrégation de différents éléments qui interagissent dans le temps, en atteignant ou non un équilibre, détermine une entité nouvelle, un système précisément. La science classique tendait à concentrer son attention sur les constituants isolés du système et procédait par décomposition des éléments, de façon à leur appliquer ses techniques d'analyse raffinées. Plus récemment, on a mis en lumière l'importance des processus dans leur globalité. C'est ainsi que par exemple le coeur, avec ses valves et ses cavités, ou le réseau des veines, des artères et des capillaires, peuvent être mieux compris si l'on considère le système circulatoire dans sa fonction globale, et si l'on concentre l'attention sur le mécanisme - et aussi sur les éventuels dysfonctionnements - qui permet de faire fonctionner harmonieusement les différents organes et qui rend possible la circulation du sang et la réalisation des fonctions physiologiques. Le tout, a-t-on coutume de dire, est dans ce cas irréductible à ses parties. L'interaction des éléments qui constituent un système et leur fonctionnement interactif donnent lieu en effet à des propriétés et à des comportements nouveaux. D'autre part, la science classique se concentrait presque exclusivement sur l'étude des systèmes physiques et surtout mécaniques, qui servaient d'exemple et de modèle pour la recherche et pour l'analyse. Au XXe siècle, toutefois, on a vu s'affirmer l'idée que des phénomènes non physiques pouvaient appartenir au domaine de l'étude scientifique, c'est-à-dire les problèmes de la biologie, de l'économie, de la psychologie et des sciences sociales. Cet élargissement du domaine d'action de la science nécessitait à son tour une modification des idées 1 des scientifiques, comme l'écrivit Ludwig von Bertalanffy dans sa Théorie générale des systèmes, publiée aux Etats-Unis en 1968. Toutefois, malgré ces glissements dans les conceptions sur les méthodes et les fins de la recherche scientifique, il est un aspect qui est demeuré inchangé, et qui jouait et joue aujourd'hui encore un rôle fondamental : le rôle des mathématiques comme instrument principal de la connaissance scientifique. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Considérons un dispositif physique - un système - très simple : une balle posée sur une table horizontale et jointe à une extrémité fixe 0 au moyen d'un ressort. Nous savons bien que si l'on étire le ressort d'une certaine longueur, puis qu'on le lâche, la balle commencera d'osciller. Le ressort est un exemple de corps élastique. Le savant anglais Robert Hooke, après avoir réalisé de nombreuses expériences, énonça une loi sur le comportement des corps élastiques qui porte son nom : « Tout corps élastique déformé exerce une force proportionnelle et opposée à la déformation. » Dans le développement de l'analyse mathématique de ce problème, les conditions sont encore simplifiées afin de souligner les aspects fondamentaux du mouvement déterminé par le phénomène élastique et d'écarter les aspects de moindre importance pour sa compréhension. C'est ainsi que nous pouvons mesurer la masse de la balle (en grammes, par exemple), mais considérer comme négligeable la masse du ressort, c'est-à-dire supposer que cette masse est nulle (bien entendu, si cela était vrai dans la réalité, le ressort n'existerait pas et il n'y aurait pas de mouvement, ce qui représente un beau paradoxe !). Nous pouvons aussi complètement ignorer le frottement, qui est pourtant présent dans les expériences réelles. En outre, seul le déplacement longitudinal de la balle nous intéressera, si bien que, même si le système physique est placé dans l'espace réel à trois dimensions (longueur, largeur, profondeur) et que nous le dessinons schématiquement en deux dimensions (les dimensions de l'écran de l'ordinateur), nous le pensons en une seule dimension. Pour ce faire, nous nous représentons la balle comme réduite à un point. On peut réaliser de nombreuses expériences avec des balles de poids différents (50 g, 100 g, etc.), avec des ressorts de matériaux plus ou moins élastiques, et en soumettant le ressort à un allongement initial de tailles différentes (de 3 cm ou de 10 cm, etc.). Du point de vue mathématique, nous pouvons toutefois décrire en un seul système tous ces cas particuliers, et représenter de façon très générale les quantités par des lettres indiquant tant les quantités constantes que les quantités 2 variables. Sont définies comme constantes les grandeurs qui restent fixes pour chaque expérience ; dans ce cas, la masse de la balle, que nous désignons par la lettre m, et la constante élastique du ressort, que nous indiquons par k. Sont définies comme variables les grandeurs qui reçoivent des valeurs différentes aux différents moments de la période de temps pendant laquelle le phénomène a lieu. Dans notre exemple, il n'y a qu'une variable, x, c'est-à-dire la distance parcourue longitudinalement. On l'écrit parfois x(t) pour souligner le fait qu'elle dépend du temps. À ce stade, la loi de Hooke peut être écrit en langage mathématique : F = -kx Nous avons de la sorte une première « formule », c'est-à-dire l'une de ces écritures symboliques dont la physique se sert habituellement. F représente la force, et la formule nous dit qu'elle est proportionnelle à la déformation. En outre, la proportion dépend des caractéristiques de la matière élastique du ressort, qui sont données par la constante caractéristique : k. Examinons maintenant le mouvement de façon plus détaillée. La balle acquiert une vitesse v. Dans un mouvement à vitesse constante, comme nous le savons, la vitesse peut être calculée en divisant l'espace parcouru par le temps écoulé. Mais dans ce cas, la vitesse change continuellement. La vitesse de la balle à tout instant est alors mesurée mathématiquement par la dérivée de l'espace par rapport au temps : dx dt v? Mais la vitesse aussi varie avec le temps, autrement dit le mouvement est accéléré. L'accélération est donnée par la dérivée de la vitesse par rapport au temps : dv dt a? En d'autres termes, l'accélération est la dérivée de la dérivée de l'espace par rapport au temps ou, comme on dit, la dérivée seconde de l'espace par rapport au temps : a? d2 x dt Toutefois, la deuxième loi de Newton affirme que la force appliquée au corps est égale au produit de sa masse m par l'accélération. En langage mathématique : ? kx ? m d 2x dt2 Par conséquent, par une simple transformation, qui nécessite seulement un passage algébrique élémentaire : d2x / dt2 + k / m = 0 d2x 3 Une équation de ce type, dans laquelle interviennent une variable x et ses dérivées (dans ce cas, seulement la dérivée seconde), s'appelle en mathématique « équation différentielle ». Dans notre cas, il s'agit de l'équation différentielle du mouvement. Un théorème des mathématiques affirme que, si on connaît les conditions initiales du problème (dans notre cas, l'allongement initiale du ressort et sa vitesse initiale, qui est ici égale à 0), il existe une seule et unique solution à l'équation différentielle. En d'autres termes, l'équation différentielle, avec ses conditions initiales, fournit une information complète sur le mouvement. Puisqu'il est souvent plus simple d'observer expérimentalement les valeurs des variations de la variable, c'est-à-dire des dérivées, et d'obtenir de la sorte une équation différentielle, ce résultat est très confortant. Quelle est l'étape suivante de la recherche, une fois obtenue l'équation différentielle ? La voie la plus immédiate est d'essayer de la résoudre. Résoudre l'équation différentielle, cela veut dire obtenir une formule décrivant l'évolution de la variable dans le temps ou, comme on dit en mathématiques, en fonction du temps. Dans notre cas, une formule du type x = x(t). On a étudié différentes techniques, dites d'analyse mathématique, qui se fondent sur le calcul infinitésimal et servent à résoudre une équation différentielle et à décrire de la sorte le mouvement de façon exhaustive. Par exemple, si nous prenons une balle de 10 g et un ressort ayant une constante d'élasticité de 100 N/m et que nous la soumettons à une déformation de 50 cm, en tenant compte du fait que la vitesse initiale est nulle, la formule sera la suivante : x (t) = 1 / 2 cos100 t Cette formule implique, outre des opérations arithmétiques élémentaires, une fonction mathématique, la fonction cosinus, qui associe à chaque instant de temps t une certaine valeur. Le résultat est une fonction un peu compliquée, qui fournit pour chaque valeur du temps (mesuré, par exemple, en secondes), le déplacement longitudinal de la balle (mesuré, par exemple, en mètres). Le mouvement est donc décrit de façon complète. Pour avoir toutes les données de façon synthétique et plus claire, nous pouvons représenter graphiquement sur un plan (celui de la feuille de papier) ces couples de valeurs (x, t). Nous utilisons deux axes de coordonnées. Sur l'axe horizontal, nous représentons l'échelle des temps en secondes, sur l'axe vertical, l'échelle des distances spatiales en mètres: 4 On observe que le mouvement est périodique, c'est-à-dire que la balle occupe cycliquement les mêmes positions. On observe également qu'une équation différentielle est une formule très générale qui permet de décrire différents systèmes. Pour chaque système, la variable peut être interprétée de façon différente, et les coefficients correspondent à des données de différente nature. Ainsi, chaque système en mesure d'être décrit par l'équation que nous avons obtenue ci-dessus est ce que l'on appelle un « oscillateur harmonique ». Au lieu du déplacement longitudinal, il peut y avoir la variation de température d'un corps ou la concentration ionique d'un plasma. MÉTHODES QUALITATIVES Il ne faut pas croire que la résolution d'une équation différentielle est, en général, chose facile. Tout au contraire. Très souvent, il est impossible d'obtenir la « loi horaire » du mouvement. En effet, les mathématiciens des XVIIIe et XIXe siècles obtinrent des équations différentielles qui décrivent de nombreux phénomènes physiques, mais constatèrent aussi que l'analyse mathématique est souvent incapable de fournir une solution explicite des équations différentielles. Il existe aussi la possibilité d'obtenir des informations numériques concernant la solution au moyen de différentes procédures de calcul approché. Autrement dit , on renonce à la détermination d'une formule générale, mais on tente de résoudre, au moyen de procédures spécifiques, des problèmes concrets avec des données particulières et des conditions initiales fixées. Ces procédures sont lentes et difficiles quand les calculs se font « à la main ». L'introduction de différents modèles de machines à calculer a permis de les perfectionner. Toutefois, cette « analyse numérique » n'a fait de grands pas en avant qu'avec le développement des ordinateurs, c'est-à-dire à partir des années 40. Mais, outre ces méthodes d'analyse « quantitative », qui visent à obtenir avec la plus grande précision possible les données numériques, ou à manipuler les formules pour obtenir au moins quelques propriétés des solutions, on a aussi mis au point une méthode d'analyse « qualitative », fondée sur la représentation géométrique de l'évolution du système dynamique. Cette méthode se fonde sur un type de représentation graphique analogue à celle que nous avons vu ci-dessus dans le cas des oscillations du ressort, et qui parvient à la détermination d'une courbe ou trajectoire. Mais dans ce cas le temps n'apparaît pas explicitement, et on représente en revanche la position et la vitesse, c'est-à-dire les « variables d'état » du système. L'ensemble de tous les états possibles (x, v) est appelé « espace des états » ou « espace des phases ». Dans l'exemple précédent, il suffit de recourir à un espace à deux dimensions, c'est-à-dire à un plan. Le mouvement considéré cidessus, et dans lequel l'amplitude de l'oscillation était de 50 cm, est représenté par la courbe: 5 Pour différentes amplitudes (c'est-à-dire pour différentes conditions initiales), on obtient toujours des courbes fermées, puisque la balle réoccupe cycliquement les mêmes positions à la même vitesse: L'ensemble de ces trajectoires, qui représentent toutes les évolutions possibles du système, s'appelle diagramme des états, ou diagramme des phases. À présent, il faut nous demander comment les choses se seraient passées si nous avions considéré la résistance opposée au mouvement par l'air. Dans ce cas, la balle accomplit un certain nombre d'oscillations, dans lesquelles le ressort s'allonge de moins en moins, jusqu'à revenir à la position de repos. Il s'agit d'un mouvement très différent, appelé « oscillateur amorti ». Et, en effet, le diagramme des phases présente un aspect très différent. Le diagramme des phases est un ensemble de spirales qui s'enroulent autour du point O = (0,0), celui où le déplacement est 0 et la vitesse 0, autrement dit quand l'oscillateur est au repos, c'est-à-dire qu'il occupe la position d'équilibre: 6 L'examen du diagramme a cet avantage qu'il permet de comparer toutes les évolutions possibles d'un système dynamique, fournissant de cette façon une visi...
