RECURRENCE DE POINCARE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée. En réalité, en raison du théorème de récurrence de Poincaré, l'entropie d'un système confiné dans un volume borné, possédant une énergie finie et qui serait idéalement isolé de toute interaction avec son environnement ne pourrait pas augmenter de façon monotone. En effet, un tel système peut revenir aussi près qu'on le souhaite de son état initial à condition d'attendre suffisamment longtemps. Cette objection au second principe de la thermodynamique (faite à Boltzmann lorsqu'il a fait connaître son théorème H) est connue depuis les débuts de la thermodynamique statistique sous le nom d'objection de récurrence de Zermelo. En fait, le caractère irréversible de la croissance de l'entropie des systèmes « isolés » résulte du fait qu'aucun système n'est jamais parfaitement isolé de son environnement. De l'information sur l'état du système se diffuse dans l'environnement. Ce mécanisme de perte d'information par diffusion dans l'environnement est à l'origine de la validité de l'hypothèse dite du chaos moléculaire, hypothèse sur laquelle repose l'équation d'évolution irréversible de Boltzmann et, par voie de conséquence, le théorème H de Boltzmann (prouvant la croissance monotone de l'entropie de Boltzmann d'un gaz parfait « isolé »). Alors que l'on pensait qu'une récurrence de Poincaré demandait trop de temps pour être observée, on a récemment observé une telle récurrence sur un système dynamique simple, du type de la transformation du boulanger, par simulation après un nombre faible d'étapes de calcul. Les points d'un portait de Poincaré évoluent jusqu'à complètement brouiller l'image (chaos) puis reconstituent une figure de Poincaré approximative parfaitement reconnaissable. Eternel retour dans une portion de l'espace de phase correspondant à un système fini. Le rapport entre la récurrence de Poincaré et le second principe de la thermodynamique reste un débat ouvert.