Le terme "hyperbole" dans l'oeuvre de DESCARTES

LA DIOPTRIQUE, DISCOURS HUITIÈME, DES FIGURES QUE DOIVENT AVOIR LES CORPS TRANSPARENTS POUR DÉTOURNER LES RAYONS PAR RÉFRACTION EN TOUTES LES FACONS QUI SERVENT A LA VUE.

 Et d’abord afin de ne les tenir point en suspens, je leur dirai que toutes les figures dont j’ai ici à leur parler ne seront composées que d’ellipses ou d’hyperboles, et de cercles ou de lignes droites.

L’hyperbole est aussi une ligne courbe que les mathématiciens expliquent par la section d’un cône, comme l’ellipse.

 au moyen de quoi, contraignant cette règle de tourner autour du piquet I à mesure qu’il abaisse son doigt, il décrit sur la terre une ligne courbe XBD, qui est une partie d’une hyperbole.

 Et de plus s’il passe la bouele de sa corde dans le piquet I, et le bout de sa règle dans le piquet H, il décrira une autre hyperbole SKT toute semblable et opposée à la précédente.

 Mais si sans changer ses piquets ni sa règle, il fait seulement sa corde un peu plus longue, il décrira une hyperbole d’une autre espèce ;

 et s’il la fait encore un peu plus longue, il en décrira encore une d’autre espèce, jusqu’à ce que la faisant tout à fait égale à la règle, il décrira au lieu d’une hyperbole une ligne droite ;

 puis s’il change la distance de ses piquets en même proportion que la différence qui est entre les longueurs de la règle et de la corde, il décrira des hyperboles qui seront toutes de même espèce, mais dont les parties semblables seront différentes en grandeur.

 de ces deux lignes HB et IB, sera toujours égale à la ligne DK, qui marque la distance qui est entre les hyperboles opposées.

 Et enfin vous voyez que les hyperboles qu’on décrit en mettant toujours même proportion entre DK et Hl, sont toutes d’une même espèce.

 Puis outre cela il est besoin que vous sachiez, que si par le point B pris à discrétion dans une hyperbole, on tire la ligne droite CE, qui divise l’angle HBI en deux parties égales, la même CE touchera cette hyperbole en ce point B, sans la couper.

Mais je veux ici ensuite vous faire voir que si de ce même point B on tire vers le dedans de l’hyperbole la ligne droite BA parallèle à DK, et qu’on tire aussi par le même point B la ligne LG qui coupe CE à angles droits, puis ayant pris BA égale à BI, que des points A et I on tire sur LG les deux perpendiculaires AL et IG :

 Et ensuite que si on donne la figure de cette hyperbole à un corps de verre dans lequel les réfractions se mesurent par la proportion qui est entre les lignes DK et HI, elle fera que tous les rayons qui seront parallèles à son essieu dans ce verre, s’iront assembler au-dehors au point I, au moins si ce verre est convexe ;

 si on trace une portion d’hyperbole tant grande qu’on voudra comme DB, et que de B on fasse descendre à angles droits sur KD la ligne droite BQ, les deux lignes DB et QB tournant autour de l’essieu DQ, décriront la figure d’un verre, qui fera que tous les rayons qui le traverseront et seront dans l’air parallèles à cet essieu du côté de la superficie plate BD, en laquelle.

Et si ayant tracé l’hyperbole db semblable à la précédente, on tire la ligne droite ro en tel lieu qu’on voudra, pourvu que sans couper cette hyperbole elle tombe perpendiculairement sur son essieu dk ;

Et si ayant pris la ligne Hl plus courte pour tracer l’hyperbole du verre robd, que pour celle du verre DBQ, on dispose ces deux verres en telle sorte que leurs essieux DQ, rd soient en même ligne droite, et leurs deux points brûlants marqués I en même lieu, et que leurs deux superficies hyperboliques se regardent ;

 et il est certain qu’après la ligne droite, la circulaire, et la parabole, qui seules ne peuvent suffire pour tracer aucun de ces verres, ainsi que chacun pourra facilement voir, s’il l’examine, il n’y en a point de plus simple que l’ellipse, et l’hyperbole.

 et l’hyperbole ne l’étant pas moins que l’ellipse, ceux dont les figures sont composées d’hyperboles et de lignes droites, sont les plus aisées à tailler qui puissent être.

 D’où il est aisé de conclure qu’en ceci l’hyperbole surpasse l’ellipse, et qu’il est impossible d’imaginer des verres d’aucune autre figure qui rassemblent tous les rayons venant de divers points en autant d’autres points également éloignés d’eux, si exactement que celui dont la figure sera composée d’hyperboles.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS NEUVIEME, LA DESCRIPTION DES LUNETTES.

 les figures les plus propres à cet effet sont celles qui se tracent par des hyperboles.

 Comme par exemple l’oeil B, ou C, étant disposé à faire que tous les rayons, qui viennent du point H, ou I, s’assemblent exactement au milieu de son fond, et non pas ceux du point V ou X, il faut, pour lui faire voir distinctement l’objet qui est vers V, ou X, mettre entre deux le verre O, ou P, dont les superficies, l’une convexe et l’autre concave, ayant les figures tracées par deux hyperboles qui soient telles qu’H, ou I, soit le point brûlant de la concave, qui doit être tournée vers l’oeil, et V, ou X, celui de la convexe.

Et si on suppose le point I, ou V, assez éloigné, comme seulement à quinze ou vingt pieds de distance, il suffira, au lieu de l’hyperbole dont il devrait être le point brûlant, de se servir d’une ligne droite, et ainsi de faire l’une des superficies du verre toute plate ;

 le plus commode sera de faire celle des superficies de ce verre qui doit être tournée vers l’oeil toute plates et donner à l’autre la figure d’une hyperbole, dont le point brûlant soit au lieu où on voudra mettre l’objet.

 Or ce point brûlant, soit de l’hyperbole, soit de l’ellipse, doit être si proche que l’objet, qu’il faut supposer fort petit, y étant mis, il ne reste entre lui et le verre, que justement autant d’espace qu’il en faut, pour donner passage à la lumière qui doit l’éclairer.

 Et premièrement abc la superficie du verre concave abcdef, doit avoir la figure d’une hyperbole, qui ait son point brûlant à la distance à laquelle l’oeil, pour lequel on prépare cette lunette, peut voir le plus distinctement ses objets.

 Comme ici l’oeil G étant disposé à voir plus distinctement les objets qui sont vers H qu’aucuns autres, H doit être le point brûlant de l’hyperbole abc :

 Puis l’autre superficie def doit avoir la figure d’une autre hyperbole, dont le point brûlant I soit éloigné d’elle de la largeur d’un pouce, ou environ, en sorte qu’il se rencontre vers le fonds de l’oeil, lorsque ce verre est appliqué tout contre sa superficie.

 Et pour la superficie def, peut-être qu’à cause de la difficulté qu’on aura à la creuser tant comme j’ai dit, il sera plus aisé de lui donner la figure d’une hyperbole, dont le point brûlant soit un peu plus éloigné.

 et l’autre NOP doit avoir la figure d’une hyperbole, dont le point brûlant I tombe exactement au même lieu que celui de l’hyperbole def de l’autre verre, et soit d’autant plus éloignée du point O qu’on veut avoir une lunette plus parfaite.

 Mais pour l’extérieure NRP, au lieu qu’elle était toute plate, elle doit ici être fort convexe, et avoir la figure d’une hyperbole, dont le point brûlant extérieur Z soit si proche, que l’objet y étant mis, il ne reste entre lui et le verre qu’autant d’espace qu’il en faut pour donner passage à la lumière qui doit l’éclairer.

 Mais il doit à peu près être tel que la ligne droite NP passe par le point brûlant intérieur de l’hyperbole NRP :

 Et c’est de là que dépend la longueur de cette lunette, c’est-à-dire, la distance qui doit être entre l’hyperbole NOP et son point brûlant Car d’autant qu’elle est plus longue, d’autant l’image de l’objet est plus étendue dans le fond de l’oeil, ce qui  fait que toutes ses petites parties y sont plus distinctes.

 Il ne vous sera pas malaisé non plus à connaître que toutes celles qu’on a eues jusques ici n’ont pu aucunement être parfaites, vu qu’il y a très grande différence entre la ligne circulaire et l’hyperbole, et qu’on a seulement tâché en les faisant à se servir de celle-là, pour les effets auxquels j’ai démontré que celle-ci était requise ;

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS DIXIEME, DE LA FACON DE TAILLER LES VERRES.

 Que si après cela dans la ligne droite HI, on prend MI égale à Ol, et HD égale à DM, on aura D pour le sommet, et H et I pour les points brûlants de l’hyperbole dont ce verre doit avoir la figure pour servir aux lunettes que j’ai décrites.

Puis il est aisé ayant ces trois points de tracer l’hyperbole en la façon qui a été ci-dessus expliquée, à savoir en plantant deux piquets aux points H et I, et faisant que la corde mise autour du piquet H soit tellement attachée à la règle qu’elle ne se puisse replier vers I, plus avant que jusques à D.

 puis ayant fait M2 égale à Hi, du centre I par le point 2, décrivez le cercle 233, qui coupe le précédent aux points 33, par lesquels cette hyperbole doit passer, aussi bien que par le point D, qui en est le sommet.

 Puis ayant pris M5 égale à H4, du centre I par 5 décrivez le cercle 5 6 6, qui coupe le précédent aux points 6 6 qui sont dans l’hyperbole.

 Et ainsi continuant de mettre la pointe du compas au point H, et le reste comme devant, vous pouvez trouver tant de points qu’il vous plaira de cette hyperbole.

 Mais pour leur donner exactement cette figure, il est besoin d’avoir quelque autre invention par le moyen de laquelle on puisse décrire des hyperboles tout d’un trait, comme on décrit des cercles avec un compas.

 Et de T tirant une ligne droite par ce point V, on aura l’angle HTV, qui est tel que si on l’imagine tourner en rond autour de l’essieu HT, la ligne TV décrira la superficie d’un cône, dans lequel la section faite par le plan VX parallèle à cet essieu HT, et sur lequel DV tombe à angles droits, sera une hyperbole toute semblable et égale à la précédente.

 Et tous les autres plans parallèles à celui-ci couperont aussi dans ce cône des hyperboles toutes semblables, mais inégales, et qui auront leurs points brûlants plus ou moins éloignés selon que ces plans le seront de cet essieu.

 D’où il est manifeste, que si on fait mouvoir cette règle KLM sur les pôles 1, 2, en sorte que la pointe d’acier M passe d’N par O vers P, et réciproquement de P par O vers N, elle divisera cette lame CG en deux autres, CNOP, et GNOP, dont le côté NOP sera terminé d’une ligne tranchante, convexe en CNOP, et concave en GNOP, qui aura exactement la figure d’une hyperbole.

 Et de plus elles ont chacune une fente, NOP, qui est si longue et si large, que la règle KLM passant par dedans peut se mouvoir çà et là sur les pôles 1, 2 tout autant qu’il est besoin pour tracer entre ces deux planches une partie d’une hyperbole de la grandeur du diamètre des verres qu’on veut tailler.

 Enfin Y 6 7, et Z 8 9, sont les outils qui doivent servir à tailler en hyperbole tel corps qu’on voudra, et leurs manches YZ sont de telle épaisseur que leurs superficies qui sont toutes plates touchent exactement de part et d’autre celles des deux planches CG, EF, sans qu’ils laissent pour cela de glisser entre deux, à cause qu’elles sont fort polies.

 Et de tout ceci il est manifeste que pendant que la règle KLM est poussée d’N vers O et d’O vers P, ou de P vers O et d’O vers N, faisant mouvoir avec soi le rouleau QR, elle fait mouvoir par même moyen ces outils Y 6 7, et Z 8 9, en telle façon que le mouvement particulier de chacune de leurs parties décrit exactement la même hyperbole que fait l’intersection des deux lignes 3 4, et 5 5, dont l’une, à savoir 3 4, par son mouvement décrit le cône, et l’autre, 5 5, décrit le plan qui le coupe.

 Puis tant par le moyen de ces lames que de l’outil Z 8 9, de creuser une roue comme d, tout autour son épaisseur abc, en sorte que toutes les sections qu’on peut imaginer y être faites par des plans dans lesquels se trouve ee l’essieu de cette roue, aient la figure de l’hyperbole que trace cette machine.

 Au reste, afin que tout se fasse par ordre, je voudrais premièrement qu’on s’exerçât à polir des verres, plats d’un côté et convexes de l’autre, qui eussent la figure d’une hyperbole dont les points brûlants fussent à deux ou trois pieds l’un de l’autre :

Pour la difficulté qui se rencontre, lorsqu’on voûte ou creuse ces verres des deux côtés, à faire que les sommets des deux hyperboles soient directement opposés l’un à l’autre, on y pourra remédier en arrondissant sur le tour leur circonférence, et la rendant exactement égale à celle des manches auxquels on les doit attacher pour les polir ;

  LES PASSIONS DE L’AME, LETTRE Ire A MONSIEUR DESCARTES.

 Et pour ce qu’il se rendrait ridicule s’il usait d’hyperboles en telle occasion, ses paroles sont prises en leur vrai sens ;

  Correspondance, année 1630, A Monsieur *** (ISAAC BEECKMAN), 17 octobre 163O.

 je n’en connais que deux, à savoir le tremblement des cordes et l’hyperbole.

 Mais peut-être méritez-vous de grandes louanges pour l’hyperbole que vous m’avez enseignée.

 Certainement, si je n’avais compassion de votre mal, je ne pourrais m’empêcher de rire, puisque vous ne saviez pas même ce que c’est qu’une hyperbole, si ce n’est peut-être comme le sait un grammairien.

  Correspondance, année 1638, Au R. P. MERSENNE, 8 octobre 1638. (Les éditions contemporaines retiennent comme date le 11 octobre 1638).

 1° il n’est triple qu’en un seul cas, et la façon dont je l’ai trouvé s’étend à tous les autres, même lorsque la roulette est une ellipse, ou deux hyperboles, etc.