Le mot "parallèle" dans l'oeuvre de DESCARTES

Règles pour la direction de l’esprit, Règle huitième.

Si un homme qui ne connaît que les mathématiques cherche la ligne appelée en dioptrique anaclastique, dans laquelle les rayons parallèles se réfractent, de manière qu’après la réfraction ils se coupent tous en un point, il s’apercevra facilement, d’après la cinquième et sixième règle, que la détermination de cette ligne dépend du rapport des angles de réfraction aux angles d’incidence.

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS SEPTIEME, DES MOYENS DE PERFECTIONNER LA VISION.

Comme si le verre GgHi fait que tous les rayons qui viennent du point qu’on veut regarder tendent vers S, et qu’ils soient redressés par le verre KLM, en sorte que de là ils tendent parallèles vers l’oeil :

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS HUITIÈME, DES FIGURES QUE DOIVENT AVOIR LES CORPS TRANSPARENTS POUR DÉTOURNER LES RAYONS PAR RÉFRACTION EN TOUTES LES FACONS QUI SERVENT A LA VUE.

Mais ce que j’ai ici particulièrement dessein de vous expliquer, c’est que si on tire encore de ce point B, hors de l’ellipse, la ligne droite BA, parallèle au plus grand diamètre DK, et que l’ayant prise égale à Bl, des points A et I on tire sur LG les deux perpendiculaires AL et IG, ces deux dernières AL et IG auront entre elles même proportion que les deux DK et Hl.

Et parce que ce point B est pris à discrétion dans I’ellipse, tout ce qui se dit ici du rayon AB se doit entendre généralement de tous les rayons parallèles à l’essieu DK, qui tombent sur quelque point de cette ellipse, à savoir qu’ils y seront tous tellement détournés qu’ils iront se rendre de là vers le point I.

Car d’une part, les triangles BFN et BLA sont semblables, à cause qu’ils sont tous deux rectangles, et que NF et BA étant parallèles, les angles FNB et ABL sont égaux ;

De plus, si on tire HO parallèle à NB, et qu’on prolonge IB jusques à O, on verra que Bl est à Nl, comme OI est à HI, à cause que les triangles BNI et OHI sont semblables.

les rayons qui seront dans l’air parallèles à cet essieu comme AB, ab, entrant dans ce verre, s’y détourneront en telle sorte qu’ils iront tous s’assembler au point brûlant I, qui des deux H et I est le plus éloigné du lieu d’où ils viennent.

Et le point B ayant été pris à discrétion dans l’ellipse, tout ce que nous avons démontré de ce rayon AB se doit entendre en même façon de tous les autres parallèles à DK, qui tombent sur les autres points de cette ellipse ;

si du centre I on fait un cercle à telle distance qu’on voudra, pourvu qu’il passe entre D et I, comme DQB, les lignes DB et QB, tournant autour de l’essieu DQ, décriront la figure d’un verre, qui assemblera dans I air au point I tous les rayons, qui auront été de l’autre côté aussi dans l’air parallèles à cet essieu :

et réciproquement qui fera que tous ceux qui seront venus du point I se rendront parallèles de l’autre côté.

les lignes RO, OB, et BD, mues circulairement autour de l’essieu DR, décriront la figure d’un verre, qui fera que les rayons parallèles à cet essieu du côté de l’ellipse, s’écarteront çà et là de l’autre côté, comme s’ils venaient tous du point I.

Et si derechef dans l’ellipse DBK on en décrit une autre plus petite, mais de même espèce comme dbk dont le point brûlant marqué I soit en même lieu que celui de la précédente aussi marqué I, et l’autre h en même ligne droite et vers le même côté que DH, et qu’ayant pris B à discrétion, comme ci-devant, on tire la ligne droite Bb, qui tende vers I, les lignes DB, Bd, bd, mues autour de l’essieu Dd décriront la figure d’un verre qui fera que tous les rayons qui avant que de le rencontrer auront été parallèles se trouveront derechef parallèles après en être sortis, et qu’avec cela ils seront plus resserrés, et occuperont un moindre espace du côté de la plus petite ellipse db que de celui de la plus grande.

En sorte que avec l’ellipse seule et la ligne circulaire on peut décrire des verres qui fassent que les rayons qui viennent d’un point, ou tendent vers un point, ou sont parallèles, changent de l’une en l’autre de ces trois sortes de dispositions en toutes les façons qui puissent être imaginées.

Mais je veux ici ensuite vous faire voir que si de ce même point B on tire vers le dedans de l’hyperbole la ligne droite BA parallèle à DK, et qu’on tire aussi par le même point B la ligne LG qui coupe CE à angles droits, puis ayant pris BA égale à BI, que des points A et I on tire sur LG les deux perpendiculaires AL et IG :

Et ensuite que si on donne la figure de cette hyperbole à un corps de verre dans lequel les réfractions se mesurent par la proportion qui est entre les lignes DK et HI, elle fera que tous les rayons qui seront parallèles à son essieu dans ce verre, s’iront assembler au-dehors au point I, au moins si ce verre est convexe ;

Car d’une part les triangles BFN et BLA sont semblables, à cause qu’ils sont tous deux rectangles et que NF et BA étant parallèles les angles FNB et LBA sont égaux.

De plus, si on tire HO parallèle à LG on verra que BI est à NI comme OI est à HI, à cause que les deux triangles BNI et OHI sont semblables.

Enfin les deux angles EBH et EBI étant égaux par la construction, et HO, qui est parallèle à LG, coupant comme elle CE à angles droits, les deux triangles BEH et BEO sont entièrement égaux.

si on trace une portion d’hyperbole tant grande qu’on voudra comme DB, et que de B on fasse descendre à angles droits sur KD la ligne droite BQ, les deux lignes DB et QB tournant autour de l’essieu DQ, décriront la figure d’un verre, qui fera que tous les rayons qui le traverseront et seront dans l’air parallèles à cet essieu du côté de la superficie plate BD, en laquelle.

et qu’on joigne les deux points b et o par une autre ligne droite parallèle à dk les trois lignes ro, ob, et bd mues autour de l’essieu dk décriront la figure d’un verre, qui fera que tous les rayons qui seront parallèles à son essieu du côté de sa superficie plate, s’écarteront çà et là de l’autre côté, comme s’ils venaient du point I.

ils  feront que tous les rayons, qui avant que de les rencontrer, auront été parallèles à leurs essieux, le seront encore après les avoir tous deux traversés ;

Et de plus on peut encore imaginer une infinité d’autres verres qui fassent comme ceux-ci, que tous les rayons qui viennent d’un point, ou tendent vers un point, ou sont parallèles, se changent exactement de l’une en l’autre de ces trois dispositions.

La seconde est qu’entre plusieurs qui changent tous en même façon la disposition des rayons qui se rapportent à un seul point, ou viennent parallèles d’un seul côté, ceux dont les superficies sont le moins courbées, ou bien le moins inégalement, en sorte qu’elles causent les moins inégales réfractions, changent toujours un peu plus exactement que les autres la disposition des rayons qui se rapportent aux autres points ou qui viennent des autres côtés.

Mais pour entendre ceci parfaitement il faut considérer que c’est la seule inégalité de la courbure des lignes dont sont composées les figures de ces verres qui empêche qu’ils ne changent aussi exactement la disposition des rayons qui se rapportent à plusieurs divers points, ou viennent parallèles de plusieurs divers côtés, qu’ils font celle de ceux qui se rapportent à un seul point ou viennent parallèles d’un seul côté.

Car par exemple, si pour faire que tous les rayons qui viennent du point A s’assemblent au point B, il fallait que le verre GHIK, qu’on mettrait entre deux, eût ses superficies toutes plates, en sorte que la ligne droite GH, qui en représente l’une, eût la propriété de faire que tous ces rayons venant du point A, se rendissent parallèles dans le  verre, et par même moyen que l’autre ligne droite KI fit que de là ils s’allassent assembler au point B, ces mêmes lignes GH et KI feraient aussi que tous les rayons venant du point C s’iraient assembler au point D ;

et généralement, que tous ceux qui viendraient de quelqu’un des points de la ligne droite AC, que je suppose parallèle à GH, s’iraient assembler en quelqu’un des points de BD, que je suppose aussi parallèle à KI, et autant éloignée d’elle, qu’AC est de GH :

Et même sans que je m’arrête à vous en faire ici une démonstration plus exacte, vous pouvez facilement appliquer ceci aux autres façons de changer la disposition des rayons qui se rapportent à divers points ou viennent parallèles de divers côtés, et connaître que pour toutes, ou les verres hyperboliques y sont plus propres qu’aucuns autres, ou du moins, qu’ils n’y sont pas notablement moins propres, en sorte que cela ne peut être mis en contrepoids avec la facilité d’être taillés, en quoi ils surpassent tous les autres.

Or vous pouvez ici remarquer par occasion en quel sens il faut entendre ce que j’ai dit ci-dessus, que les rayons venant de divers points, ou parallèles de divers côtés, se croisent tous dès la première superficie qui a la puissance de faire qu’ils se rassemblent à peu près  en autant d’autres divers points.

Et qu’on peut faire que les rayons parallèles demeurant parallèles occupent un moindre espace qu’auparavant, tant par le moyen de deux verres hyperboliques convexes, qui font que les rayons qui viennent de divers côtés se croisent deux fois ;

  LA DIOPTRIQUE, DISCOURS DIXIEME, DE LA FACON DE TAILLER LES VERRES.

EA et FL sont deux pinnules, c’est-à-dire deux petites lames, de telle matière aussi qu’on voudra, pourvu qu’elles ne soient pas transparentes, élevées à plomb sur EFI, et dans lesquelles il y a deux petites trous ronds, A et L, posés justement vis-à-vis l’un de l’autre, en sorte que le rayon AL passant au travers soit parallèle à la ligne EF.

Et on pourra rendre ces trois points HDI plus ou moins éloignés qu’ils ne sont de tant qu’on voudra, en tirant seulement une autre ligne droite parallèle à HI plus loin ou plus près qu’elle du point B, et tirant de ce point B trois lignes droites BH, BD, Bl qui la coupent.

Et de T tirant une ligne droite par ce point V, on aura l’angle HTV, qui est tel que si on l’imagine tourner en rond autour de l’essieu HT, la ligne TV décrira la superficie d’un cône, dans lequel la section faite par le plan VX parallèle à cet essieu HT, et sur lequel DV tombe à angles droits, sera une hyperbole toute semblable et égale à la précédente.

Et tous les autres plans parallèles à celui-ci couperont aussi dans ce cône des hyperboles toutes semblables, mais inégales, et qui auront leurs points brûlants plus ou moins éloignés selon que ces plans le seront de cet essieu.

CG, EF sont deux lames ou planches toutes plates et unies principalement du côté qu’elles s’entretouchent, en sorte que la superficie qu’on peut imaginer entre elles deux, étant parallèles au rouleau AB, et coupée à angles droits par le plan qu’on imagine passer par les points 1, 2, et C, O, G, représente le plan VX qui coupe le cône.

ABKLM n’est qu’une seule pièce qui se meut toute entière sur les pôles 1, 2, et dont la partie ABK peut avoir telle figure qu’on voudra, mais KLM doit avoir celle d’une règle ou autre tel corps, dont les lignes qui terminent ses superficies soient parallèles :

CG, EF sont deux planches parallèles à l’essieu 1 2, et dont les superficies qui se regardent sont fort plates et unies, et coupées à angles droits par le plan 1 2 GOC.

Et cette règle est aussi passée au travers du rouleau QR, en telle façon que le faisant mouvoir avec soi, sur les pôles 1, 2, il demeure néanmoins toujours enfermé entre les deux planches CG, EF, et parallèle à l’essieu 1 2.

  LES METEORES, DISCOURS CINQUIEME, Des nues.

Et sans doute ceci est suffisant pour faire entendre que les gouttes d’eau doivent être exactement rondes, au sens que leurs sections sont parallèles à la superficie de la terre ;

  LES METEORES, DISCOURS HUITIEME, DE L’ARC-EN-CIEL.

car l’expérience montre que, si les superficies MN et NP étaient parallèles, les rayons, se redressant autant en l’une qu’ils se pourraient courber en l’autre, ne produiraient point ces couleurs.

Puis ôtant le double de l’art FK de l’arc FG ajouté à 180 degrés, j’ai 40,44 pour la quantité de l’angle ONP, car je suppose ON parallèle à EF.

  LES METEORES, DISCOURS DIXIEME, De l’apparition de plusieurs soleils.

On voit encore quelquefois d’autres cercles dans les nues qui diffèrent de ceux dont j’ai parlé, en ce qu’ils ne paraissent jamais que tous blancs et qu’au lieu d’avoir quelque astre en leur centre, ils traversent ordinairement celui du soleil ou de la lune, et semblent parallèles ou presque parallèles à l’Horizon.

Toutefois si le soleil est beaucoup plus bas qu’il ne paraît vers E, en sorte que ses rayons passent aussi en ligne droite par le dessous de la glace, jusques à l’oeil K, comme S7K que je suppose parallèle à S1, alors outre les six soleils précédents on en verra encore un septième au dessous d’eux, et qui ayant le plus de lumière, effacera l’ombre qu’ils pourraient causer dans les Horloges.

Tout de même s’il est si haut que ses rayons puissent passer en ligne droite vers K par le dessus de la glace, comme T8K qui est parallèle à T3, et que la nue interposée ne soit point si opaque qu’elle les en empêche, on pourra voir un septième soleil au dessus des six autres.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 66.

Car si, par exemple, IVX est sa partie qui est vers le pôle E, qui tourne suivant l’ordre des lettres IVX, le premier tourbillon se frottant contre elle suivant la ligne droite EI et les autres qui sont parallèles à celle-ci, le second tourbillon se frottant aussi contre elle suivant la ligne droite EV, et le troisième suivant la ligne EX, empêcheraient son mouvement circulaire.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 106.

Ainsi il faut penser que les parties cannelées qui coulent sans cesse d’A vers I, c’est-à-dire de toute la partie du ciel qui est autour du pôle A vers la partie du ciel HIQ, se sont formé certains pores dans la tache defg, suivant des lignes droites qui sont parallèles à l’essieu fd (ou peut-être qui sont tant soit peu plus proches l’une de l’autre vers d que vers f, à cause que l’espace qui est vers A, d’où elles viennent, est plus ample que celui où elles se vont rendre vers I), et que les entrées de ces pores sont éparses en toute la moitié de la superficie efg, et les sorties en l’autre moitié g :

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 155.

On n’admirera point aussi que l’essieu sur lequel la terre fait son tour en un jour ne soit pas parallèle à celui de l’écliptique sur lequel elle fait son tour en un an, et que leur inclination, qui fait la différence de l’été et de l’hiver, soit de plus de vingt-trois degrés.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, TROISIEME PARTIE, Art. 156.

Mais cependant, à cause que le tour que la terre fait dans l’écliptique pendant une année, et celui qu’elle fait chaque jour sur son essieu, se feraient plus commodément si l’essieu de la terre et celui de l’écliptique étaient parallèles, les causes qui empêchent qu’ils ne le soient se changent par succession de temps peu à peu, ce qui fait que l’équateur s’approche insensiblement de l’écliptique.

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, QUATRIEME PARTIE, Art. 133.

et appliquant ici à la terre tout ce qui a été dit en cet endroit-là, depuis l’article 105 jusqu’à l’article 109, de l’astre qui était marqué I, pensons qu’il y a en sa moyenne région plusieurs pores ou petits conduits parallèles à son essieu par où les parties cannelées passent librement d’un pôle vers l’autre ;

C’est pourquoi, après qu’elles ont traversé toute la terre, d’une moitié à l’autre, suivant des lignes parallèles à son essieu il y en a plusieurs qui retournent par l’air d’alentour vers la même moitié par où elles étaient entrées ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, QUATRIEME PARTIE, Art. 165.

puis, haussant quelque peu le même bout de ce fer, et le remettant incontinent parallèle à l’horizon proche de la même boussole on voit que l’aiguille lui présente son autre côté, et si on le hausse et baisse ainsi plusieurs fois, on trouve toujours en ces régions septentrionales que le côté que l’aiguille a coutume de tourner vers le sud se tourne vers le bout du fer qui a été baissé le dernier et que celui qu’elle a coutume de tourner vers le nord se tourne contre le bout du fer qui a été haussé le dernier ;

  LES PRINCIPES DE LA PHILOSOPHIE, QUATRIEME PARTIE, Art. 170.

Mais encore que je n’aie point fait d’expérience qui m’assure que cela soit vrai, je juge néanmoins que la déclinaison d’un aimant ainsi planté n’est pas la même, et peut-être aussi qu’elle n’est pas si grande que lorsque la ligne qui joint ses pôles est parallèle à l’horizon ;

car en tous les endroits de cette terre extérieure excepté en l’équateur et sur les pôles, il y a des parties cannelées qui prennent leur cours en deux façons, à savoir les unes le prennent suivant des lignes parallèles à l’horizon, parce qu’elles viennent de plus loin et passent outre ;

  Correspondance, année 1637, AU R. P. MERSENNE. REPONSE AUX OBJECTIONS DE Monsieur DE FERMAT, 3 décembre 1637. (Les éditions contemporaines datent cette lettre du 5 octobre 1637.).

Et il fait un paralogisme très manifeste, en ce que, supposant la ligne AF n’être pas parallèle à la superficie CBE, il a voulu qu’on pût, nonobstant cela, imaginer que cette ligne désignait le côté auquel cette superficie n’est point du tout opposée, sans considérer que comme il n’y a que les seules perpendiculaires, non sur cette AF tirée de travers par son imagination, mais sur CBE, qui marquent en quel sens cette superficie CBE est opposée au mouvement de la balle, aussi n’y a-t-il que les parallèles à cette même CBE qui marquent le sens auquel elle ne lui est point du tout opposée.

  Correspondance, année 1638, Au R. P. MERSENNE, 8 octobre 1638. (Les éditions contemporaines retiennent comme date le 11 octobre 1638).

Et pour la réfutation de l’opinion de Galilée touchant le mouvement sur les plans inclinés, Monsieur Fermat se mécompte, en ce qu’il fonde son argument sur ce que les poids tendent vers le centre de la terre, qu’il imagine comme un point, et Galilée suppose qu’ils descendent par des lignes parallèles.

  Correspondance, année 1639, A MONSIEUR (DE BEAUNE), 30 avril 1639.

Votre distinction des trois lignes de direction, qui sont parallèles ou qui tendent à un centre ou à plusieurs, est fort méthodique et utile.

  Correspondance, année 1639, Au R. P. MERSENNE, 9 janvier 1639.

et qu’il n’y a que ceux qui tendent à s’assembler en quelque point mathématique, qui peuvent être rendus parallèles à l’infini.

De façon qu’encore que le verre CD fût aussi grand que le soleil AB, et qu’il fît que tous ses rayons parallèles s’assemblassent en un point mathématique vers E ;

toutefois, si ces rayons n’étaient point aidés par ceux qui ne sont pas parallèles, ils ne seraient nullement capables de brûler :

  Correspondance, année 1639, A MONSIEUR *** (DESARGUES), 4 janvier 1639. (Les éditions contemporaines datent cette lettre du 19 juin 1639.

Pour votre façon de considérer les lignes parallèles, comme si elles s’assemblaient à un but à distance infinie, afin de les comprendre sous le même genre que celles qui tendent à un point, elle est fort bonne, pourvu que vous vous en serviez, comme je m’assure que vous faites, pour donner à entendre ce qui est obscur en l’une de ces espèces par le moyen de l’autre où il est plus clair, et non au contraire.

  Correspondance, année 1641, Au R. P. MERSENNE, 5 août 1641 ( Les éditions contemporaines datent cette lettre de septembre 1641.).