FONDEMENT DES MATHEMATIQUES

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

En 1879, Frege clarifie le raisonnement logique. Cette formalisation permet de dégager les trois caractéristiques qu' une théorie mathématique devrait avoir: cohérence : impossiblité de démontrer une proposition et son contraire, complétude : pour tout énoncé, ou bien il est démontrable, ou bien son opposé est démontrable à l'intérieur de la théorie, décidabilité : il existe une procédure de décision permettant de tester tout énoncé de la théorie. Avec Georg Cantor, la théorie des ensembles met à l'avant-plan les ensembles infinis, objets aux propriétés particulières qui demandent une nouvelle approche. Le problème du fondement des mathématiques est devenu particulièrement aigu entre le XIX° et le XX° siècle lorsque dans la théorie des ensembles de Kantor on a découvert des contradictions ou antinomies, posant la question de leur origine et des méthodes pour s'en débarrasser. L'antinomie la plus célèbre est due à Russel et met en jeu le problème de l'appartenance ensembliste à soi même, certains ensembles étant éléments d'euxmêmes (l'ensemble des objets inanimés est un objet inanimé) et certains ensembles ne l'étant pas (l'ensemble des nombres entiers n'est pas un nombre entier). Elle est illustrée par l'antinomie du barbier qui en ayant décrété qu'il raserait tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes reste indécis quant à savoir s'il doit se raser lui-même. Brouwer considérait ces problèmes liés aux fondements même de la théorie des ensembles dans son attitude vis-à-vis de l'infini. Il a proposé de construire les mathématiques sur la conception de l'intuitionnisme ne reconnaissant que l'infini potentiel Russel considérait que ces antinomies provenaient de l'utilisation d'arguments ayant le caractère de cercles vicieux, où ce qui contient une variable est une valeur possible de cette variable. Il a entrepris de reconstruire la théorie de Kantor en la développant comme une partie de la logique. Zermelo a entrepris la construction d'une théorie axiomatique des ensembles, un programme repris par Hilbert et ses élèves dans leur tentative de formaliser toute la mathématique, un rêve battu en brèche en 1931 par les théorèmes d'incomplétude de Gödel. Ce que l'on nomme la crise des fondements des mathématiques a eu pour effet de stimuler le développement de la métamathématique et de la théorie de la démonstration.