Vibrations et résonnances

« Figure 4 .

..lfi__·- ·- • •••• X= )() = f f X fixées au sol, c'est une hypothèse fortement simplificatrice , elle nous évite d'avoir à considérer deux régimes d'équations différentielles : celles où le véhicule serait en appui sur le sol et un autre où il serait en chute libre, avec une vitesse initiale déterminée par la fin de la phase précédente, c 'est-à-dire qu'il faudrait faire une étude numérique pour savoir quand la voiture touche terre et quand elle vole et résoudre alors les bonnes équations .

Notre hypothèse de contact n 'est pas si restreignante quand on garde à l'esprit qu'on veut éviter à la niroglycérine de subir trop de chocs .

•On modélise la déperdition d 'énergie à l'amortisseur par un frottement visqueux simpl e, une force de la forme : -f :ü ,f > 0 C'est une approche très habituelle en physique .

• Les roue s de notre automobile sont considérées comme quatre systèmes indépendants, m la masse de notre système est le quart de celle du total.

• La voiture est un système rigide , on peut la modéliser comme une masse ramenée à un point.

On peut donc déterminer l'équation (4.1) qui régit '°"------------,....------------1 l'évolution du système, elle est DtCOMPOSITION EN SIGNAUX SIMPLES : UN EXEMPLE : LE SALAIRE DE LA PEUR (1953, HENRI-GEORGES (LOUZOT) Dans ce film , les personnages principaux sont confrontés à un différentielle de degré deux : m .x = m .g - f.

(x +X) - k.(x+X) OÙ: - m est le quart de la mass e de la voiture , c'est la masse de notre système ; - a . b, la multiplication de a par b ; conclusions plus générales .

Si on résoud l'équation homogène tirée de 4 .1 : m .i = - f.x -k.x Il apparait que les seules solutions - physiquement sensées -sont de la forme : X = e-rt.(a. eiw ot + /3.e - iwo•), ( cr,/3) E C 2 avec Il s'agit d'un exercice traité en détail dans d'autres ouvrages, plus généralistes -voir l'analyse du circuit RLC, qui est l'analogue électronique de ce système .

Ces solutions sont des oscillations amorties , des régimes transitoires, pendant lesquels les amortisseurs passent d'une position à une autre.

On les oubliera dans la suite, considérant que la voiture est bien réglée et que ces régimes s'amortissent rapidement.

Reste donc à trouver une solution particulière à l'équation 4.1.

On postule une solution de la forme : B.e"" ' + "::g , BEC semblable à la forme de X , agrémentée d 'un terme qui correspond à l'enfoncement de l'amortisseur sous le poids du véhicule.

Il vient : B.(-m .w2 +if w + k ) = = -A.(i fw + k) INTRODUCTION AUX StRIES DE FOURIER Les séries de Fourier sont des outils extrêmement pratiques pour l'analyse de ce genre de problèmes .

La théorie prédit que toute fonction périodique se ramène à une somme parfois infinie de fonctions trigonométriques , ou de fonctions exponentielles complexes , affectées de coefficients multiplicateurs.

Pour étudier la réponse d'un système -x, la dérivée seconde temporelle de x, et à un signal périodique donné e(t), on peut donc: • étudier sa réponse à des fonctions trigonométrique s t1(t) = e2i1< t / f de fréquences f différentes • puis décomposer notre signal d'entrée e(t) pour extraire ces coefficients c1 de Fourier e (t) = L-1 Cf * e2i.t/ f, • appliquer les changements sur nos c1 et recomposer la série en signal de sortie.

problème d'apparence simple : il leur faut acheminer sur une route de désert une cargai son de nitroglycérine le plus vite possible.

Nous nous proposons de leur apporter une analyse physique pour leur éviter de faire exploser leur cargaison : en fonction de la rout e, à quelle vitesse faudrait -il qu'ils roulent pour rester en dessous d'une certaine amplitude de mouvement de leur véhicule.

Lecture intuitive du problème i. »