Vibrations et résonances

« Figure 4 .

..JJL _·- ·- • •••• x:;::JO = f f X fixées au sol, c'est une hypothèse fortement simplificatrice, elle nous évite d'avoir à considérer deux régimes d'équations différentielles : celles où le véhirule serait en appui sur le sol et un autre où il serait en chute libre , avec une vitesse initiale déterminée par la fin de la phase précédente, c'est-à-dire qu'il faudrait faire une étude numérique pour savoir quand la voiture touche terre et quand elle vole et résoudre alors les bonnes équations.

Notre hypothèse de contact n'est pas si restreignante quand on garde à l'esprit qu'on veut éviter à la niroglycérine de subir trop de chocs.

• On modélise la déperdition d'énergie à l'amortisseur par un frottement visqueux simple , une force de la forme : -f .v, f > o C'est une approche très habituelle en physique .

• Les roues de notre automobile sont considérées comme quatre systèmes indépendants, m la masse de notre système est le quart de celle du total.

• La voiture est un système rigide , on peut la modéliser comme une masse ramenée à un point.

On peut donc conclusions plus générales.

Si on résoud l'équation homogène tirée de4.1 : m.x = - f.x -k.x Il apparall que les seules solutions - physiquement sensées -sont de la forme : x = e-n.(o.e'""'' + {J.e-Wot), (a,{J) E C2 avec de la route et vitesse étant directe, F peut être vu comme directement proportionnelle à v la vitesse de la voiture .

Il apparait donc que pour des vitesses faibles, H et donc l'amplitude d'oscillation de la voiture restera normale, puis à mesure que la vitesse augmente, la course se fera plus chaotique, pour ensuite redevenir plus agréable, nos coursiers ont donc deux options : rouler tout doucement où à tombeau ouvert, pour livrer le chargement de dynamite .

QUELQUES EXPLICATIONS SUmùlENTAllES déterminer l'équation (4.1) qui régit ------------.---------- -; l'évolution du système, elle est Il s'agit d'un exercice traité en détail dans d'autres owrages.

plus généralistes -voir l'analyse du circuit RLC, qui est l'analogue électronique de ce système.

Ces solutions sont des oscillations amorties, des régimes transitoires, pendant lesquels les amortisseurs passent d'une position à une autre .

On les oubliera dans la suite , considérant que la voiture est bien réglée et que ces régimes s'amortissent rapidement Reste donc à trouver une solution particulière à l'équation 4.1.

On postule une solution de la forme : ;.,c m.g On peut bien sOr objecter que la route n'est pas sinusoïdale , mais grâce aux outils de Fourier on peut décomposer ce signal a priori quelconque en une combinaison linéaire de sinusoïdes qui stimuleront toutes isolément la voiture.

Celle-ci répondra selon la courbe de gain de H et son mouvement sera la superposition de toutes ces réponses, donc si H est faible à toutes les fréquences considérées, le mouvement aura peu d'amplitude .

C'est là toute la puissance de la décomposition en harmoniques.

Le lecteur peut s'interroger sur le passage d'une périodicité spatiale , celle de la route, à notre X.

fonction du temps uniquement et devra s'imaginer la voiture telle une pointe en diamant sur un disq..e vinyle, qui transforme ce signal spatial DkOMPOSmON EN SIGNAU X SIMPLES : lllTIODUC1ION AUX HlllS Dl Fou11u Les séries de Fourier sont des outils extrêmement pratiques pour l'analyse de ce genre de problèmes .

La théorie prédit que toute fonction périodique se ramène à une somme parfois infinie de fonctions trigonométriques, ou de fonctions exponentielles complexes, affectées de coefficients multiplicateurs.

Pour étudier la réponse d'un système à un signal périodique donné e(t), on peut donc : • étudier sa réponse à des fonctions trigonométriques t1(t) = e'Ji-Jrtlf de fréquences f différentes • puis décomposer notre signal d'entrée e(t) pour extraire ces coefficients 4 de Fourier e(t) = L,1c1 * e2""11, • appliquer les changements sur nos 4 et recomposer la série en signal de sortie .

Ces fonctions présentent des comportements agréables lorsqu'on les dérive, de telle sorte que la résolution d'équations différentielles, très fréquentes en étude de ce genre de systèmes, en est grandement simplifiée.

LA REPONSE D'UN SYSTÈME À UN SIGNAL A présent.

nous sommes en mesure de réaliser une étude plus précise d'un problème.

Où WUT·ON EN VDlll 1 Nous allons donc conduire l'étude en utilisant les outils que nous venons d'évoquer : • résolution de l'équation différentielle du système à l'aide de fonctions trigonométriques générales ; • caractérisation du signal d 'entrée en terme de coefficients de Fourier.

• extraction de la réponse du système ; • conclusion, analyse physique.

UN WMPll : li SAlMIE DE LA P EUi (lt5J, HENll-GEOllGlS CLOUZOT) Dans ce Ill•, les personnages principaux sont confrontés à un problème d'apparence simple : il leur faut acheminer sur une route de désert une cargaison de nitroglycérine le plus vite possible.

Nous nous proposons de leur apporter une analyse physique pour leur éviter de faire exploser leur cargaison : en fonction de la route, a quelle vitesse faudrait-il qu'ils roulent, pour rester en dessous d'une certaine amplitude de mouvement de leur véhicule .

Ledu" Intu itive du problèllle La voiture est équipée d'un train roulant suspendu, que nous assimilerons à un système plus simple de type amortisseur-masse où l'amortisseur est la mise en parallèle d'un dispositif de frottement et d 'un ressort.

ainsi qu'il est présenté sur la figure4 .

Nous avons déjà rencontré ce genre de système lorsque nous avons présenté le système du pont et des militaires .

L'occasion nous est donc offerte de l'étudier plus à fond.

Notre sens physique et l'expérience de tous les jours nous poussent à croire que si la voiture roule suffisament lentement.

elle ne sera pas secouée.

Mais n 'y a-t-il pas d'autres régimes intéressants? C'est ce que nous allons tenter de résoudre .

Quelq HS équatiOllS Il est commun de présenter les hypothèses les plus frappantes lors du traitement d'un problème physique.

• Les roues de notre véhicule sont différentielle de degré deux : m.i = m.g -f.(x +X) - k.(x+X) OÙ: - m est le quart de la masse de la voiture, c'est la masse de notre système ; - a.b, la multiplication de a par b ; B.e +k, BEC semblable à la forme de X.

agrémentée d'un terme qui correspond à l'enfoncement de l'amortisseur sous le poids du véhicule .

Il vient : B.(-m...? + i/w + k) = = -A.(i/w + k) -X.

la dérivée seconde temporelle de x.

et X.

la dérivée simple ; -x.

la position de notre véhicule par rapport au niveau de référence ; -g.

l'accelération de la gravité ; - f, notre coefficient de frottement ; -k.

la raideur du ressort ; -X, le niveau du sol, c'est l'entrée de notre système, en fonction de la vitesse du véhicule, sa fréquence changera linéairement li s'agit de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique en projection sur l'axe vertical.

Le terme m.ii est l'accelération du mobile, m .g la contribution de sa masse, -f.(x +X) est associé aux frottements et -k.(x +X) la force de rappel du ressorl Grace aux travaux de Fourier, il nous suffit d'étudier les cas où X est de la forme A.e"' pour pouvoir en tirer des B 1 H = 1-1 = !-;-;;:;ri A 1- l+lTw H est ce que l'on nomme la fonction de transfert.

elle répond à la question : « à une entrée d 'amplitude donnée, de pulsation w, quelle sera le coefficient multiplicateur sur l'amplitude de sortie ?» la selu tlon : répoitse en friq meaœ Grâce à H, on a à présent la réponse à nos interrogations, pour des valeurs typiques de m , k et f, la réponse en pulsation -où en fréquence w = 2rc.F, où Fest la fréquence et w la pulsation - a l'allure présenté en figure 5 .

La fréquence de notre signal X et le rapport entre fréquence géométrique en signal temporel, il en découle la relation linéaire qui lie périodicités spatiale et temporelle au travers de la vitesse .

Pour référence, voici des ordres de grandeur de k.

f et m trouvés dans la littérature : • 10' N.m- 1 < k < 10' N.m- 1 •m=400kg • f-10' N.s.m -1 • i(1!iB!ifüJii Les transformations de Fourier sont 1------- --- -- .....

-------------1 cruciales pour la théorie des signaux Figure 5 H F vibratoires, en ce qu'elles permettent.

grâce à l'exponentiation complexe, la simplification des formes de signaux et des équations différentielles.

L'analyse des systèmes se fait en général en trois étapes : - analyse du spectre en fréquence du signal d'entrée ; - caractérisation de la réponse du système ; - recomposition de la fonction de sortie ou analyse directe .

Le lecteur intéressé pourra consulter les ouvrages traitant de ces techniques de décomposition ainsi que de la théorie mathématique sous-jacente à ces outils .

L'exponentielle complexe est souvent utile , ainsi que les méthodes de résolution d'équations différentielles, qui n'ont été ici qu'effleurées.. »