TD: Oscillateur harmonique

« Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Électronique 3 – Travaux dirigés Oscillateur harmonique Exercices Exercice 1 : Force exercée par un ressort [♦♦] Dans chacun des cas, exprimer la force exercée par le ressort sur le solide fixé en M en fonction de la raideur k et de la longueur naturelle `0 du ressort, de la position x ou z du point M , de la position xH ou zH du point H où le ressort est fixé à un bâti, et du vecteur unitaire #” e x ou #” e z .

Les positions sont repérées à partir du point O.

Dans le dernier cas, exprimer les forces exercées par les deux ressorts sur chacun des points M1 et M2 , d’abscisses x1 et x2 . Les deux ressorts sont supposés différents, de caractéristiques k, `0 et k 0 , `00 . 1O=H 2- 3- M M H x O 4- 5- z M H x x O z O=H M 6M1 O=H M M2 x O=H Exercice 2 : Une masse et deux ressorts [♦] Considérons un point matériel M de masse m glissant horizontalement et sans frottement, repéré par son abscisse x # ” telle que OM = x #” e x .

Ce solide est relié à deux ressorts placés sur un même axe, eux-mêmes fixés en O et O0 .

Le solide étudié se trouve entre O et O0 .

La longueur OO0 est notée L.

Les ressorts ont pour raideur respective k1 et k2 , et pour longueur à vide `01 et `02 . 1 - Faire un schéma légendé de la situation.

Il va de soi qu’il sera aussi clair, complet et propre. 2 - Établir l’équation différentielle vérifiée par x(t), appelée équation du mouvement. 3 - Montrer que la position d’équilibre est donnée par xéq = k1 `01 + k2 (L − `02 ) k1 + k2 4 - En déduire la forme générale des solutions de l’équation du mouvement. 5 - Supposons qu’à l’instant t = 0, M est placé en x = x0 > xéq et lancé avec une vitesse initiale v0 vers la gauche. Établir la loi horaire x(t) et représenter son allure. 6 - Supposons maintenant x0 = xéq et v0 = 0.

Que vérifie-t-on ? Exercice 3 : Oscillateur masse-ressort vertical [♦] L’objectif de cet exercice est de comprendre en quoi l’oscillateur vertical montré en cours diffère de l’oscillateur horizontal que nous avons modélisé.

L’exercice propose de suivre la même démarche que celle du cours, en établissant et résolvant l’équation différentielle régissant le mouvement, puis en contrôlant la conservation de l’énergie. L’oscillateur de démonstration est modélisé par un ressort de longueur naturelle L0 et de raideur k.

Ce ressort est attaché à une ficelle en un point O supposé fixe et pend verticalement.

Un cylindre de masse m est fixée à son 1/2 Étienne Thibierge, 13 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 autre extrémité.

La position du cylindre est repérée par sa cote z, définie le long d’un axe (Oz) orienté vers le bas et dont l’origine est fixée au point d’attache du ressort. 1 - Établir l’équation différentielle vérifiée par z(t) et l’écrire sous forme canonique.

En déduire la période des oscillations et comparer au cas horizontal. 2 - Déterminer la position d’équilibre zéq .

Commenter physiquement le résultat. 3 - Le cylindre est lâché sans vitesse initiale à partir d’une position z0 obtenue en étirant le ressort par rapport à la position d’équilibre.

Déterminer la loi horaire z(t). 4 - L’énergie potentielle du cylindre peut s’écrire sous la forme Ep (z) = 1 k (z − L0 )2 − mgz 2 Que représentent chacun des termes ? Montrer que la solution générale obtenue traduit bien la conservation de l’énergie mécanique du cylindre. Exercice 4 : Étude énergétique d’un oscillateur harmonique électrique [♦] Dans le circuit ci-contre, le générateur supposé idéal est brusquement éteint.

On le modélise par un échelon de courant, η(t) passant de I0 à 0 à l’instant t = 0.

On appelle Etot = EC + EL l’énergie électrique totale stockée dans le condensateur et la bobine. u C L di dEtot en fonction de i et . 1 - Exprimer la dérivée dt dt 2 - Justifier qualitativement que Etot est constante.

En déduire l’équation différentielle vérifiée par i.

Retrouver cette équation par application des lois de Kirchoff. η(t) i(t) 3 - Établir les conditions initiales sur i et sa dérivée. 4 - En déduire l’expression de i(t). Exercice 5 : Mode de vibration d’une molécule de HCl [] La fréquence de vibration de la molécule de chlorure d’hydrogène HCl est mesurée par spectroscopie comme valant f = 8,5 · 1013 Hz.

On aborde dans cet exercice un premier modèle simple de la molécule, décrite comme un atome d’hydrogène mobile relié à un atome de chlore fixe.

L’interaction entre les deux atomes est modélisée par un pseudo-ressort de raideur k. Données : masses molaires MH = 1,0 g · mol−1 et MCl = 35,5 g · mol−1 , nombre d’Avogadro NA = 6,0 · 1023 mol−1 . 1 - Pourquoi est-il raisonnable de supposer l’atome de chlore fixe ? 2 - Calculer la raideur k. 3 - On admet que l’énergie de la molécule est égale à 21 hf où h = 6,62 · 10−34 J · s est la constante de Planck.

Calculer la vitesse maximale de l’atome d’hydrogène. 4 - Calculer l’amplitude de son mouvement. Annale de concours Exercice 6 : Deux ressorts à la verticale O k1 , `01 m1 k2 , `02 m2 [oral banque PT, ] 1 - Si un ressort possède une raideur k, quelle est la raideur d’un demi-ressort ? 2 - On considère le système ci-contre où ki et `0i sont les raideurs et longueurs à vide des ressorts. Déterminer les allongements ∆`1 et ∆`2 à l’équilibre. 3 - Établir les équations différentielles vérifiées par les écarts z1 et z2 aux positions d’équilibre. 4 - La masse m2 est maintenant supposée maintenue dans sa position d’équilibre.

La masse m1 est alors déplacée de Zd de sa position d’équilibre et lâchée sans vitesse initiale.

Trouver l’équation z1 (t) régissant le mouvement de m1 . 5 - Quel est le rapport entre les deux premières questions de l’exercice ? 2/2 Étienne Thibierge, 13 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Électronique 3 – Correction des travaux dirigés Oscillateur harmonique Exercices Exercice 1 : Force exercée par un ressort #” Dans tous les cas il faut repartir de la définition, f = −k(` − `0 ) #” u sortant en exprimant séparément ` et #” u sortant en fonction des paramètres géométriques du problème.

Attention aux signes, ` est une longueur donc toujours positive. 1 #” f = −k(x − `0 ) #” ex 2 #” f = −k(xH − x − `0 )(− #” e x ) = k(xH − x − `0 ) #” ex 3 #” f = −k(x − xH − `0 ) #” ex 4 #” f = −k(−z − `0 )(− #” e z ) = −k(z + `0 ) #” ez 5 #” f = −k(z − `0 ) #” ez #” 6 .

Force exercée par le premier ressort sur M1 : f = −k(x1 − `0 ) #” ex ; #” .

Force exercée par le deuxième ressort sur M1 : f = −k 0 (x2 − x1 − `00 )(− #” e x ) = k 0 (x2 − x1 − `00 ) #” ex ; .

Force exercée par le premier ressort sur M2 : aucune ! car le premier ressort n’est pas attaché au solide en M2 ... mais cela ne veut évidemment pas dire qu’il n’a pas d’influence sur le mouvement de M2 ; #” .

Force exercée par le deuxième ressort sur M2 : f = −k(x2 − x1 − `0 ) #” ex. Exercice 2 : Une masse et deux ressorts 1 Voir figure 1. k1 , `01 O k2 , `02 M O0 x x L Figure 1 – Schéma de la situation.

Rien n’est précisé sur la situation des ressorts (comprimés, étendus, à l’équilibre) : il n’est donc pas possible de représenter les forces. 2 .

Système : le solide de masse m, repéré par la position du point M ; .

Référentiel : terrestre, que l’on considère en bonne approximation galiléen ; .

Bilan des actions mécaniques exercées sur le système : → son poids, vertical, est supposé exactement compensé par la réaction du support sur lequel il se trouve ; #” → force exercée par le ressort 1 : f 1 = −k1 (`1 − `01 ) #” u sortant,1 = −k1 (x − `01 ) #” ex ; #” #” e x ) = k2 (L − x − `02 ) #” ex ; → force exercée par le ressort 2 : f 2 = −k2 (`2 − `02 ) u sortant,2 = −k2 (L − x − `02 )(− #” → les frottements sont négligés. .

Loi de la quantité de mouvement : d #” p #” #” = f1+ f2 dt avec dx #” #” p = m #” v =m ex dt ce qui donne en projetant sur l’axe x m d2 x = −k1 (x − `01 ) + k2 (L − x − `02 ) . dt2 1/7 Étienne Thibierge, 13 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr Correction TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Écrivons cette équation sous forme canonique, m d2 x + k1 x + k2 x = k1 `01 + k2 (L − `02 ) dt2 d2 x k1 + k2 k1 `01 + k2 (L − `02 ) + x= 2 dt m m soit On reconnaît une équation différentielle d’oscillateur harmonique dont on peut identifier la pulsation propre et qu’on écrit finalement r k1 `01 + k2 (L − `02 ) k1 + k2 d2 x 2 + ω0 x = avec ω0 = . 2 dt m m 3 La position d’équilibre du solide est donnée par une solution particulière constante de l’équation différentielle. Pour x = xéq = cte, elle s’écrit 0 + ω02 xéq = k1 `01 + k2 (L − `02 ) m donc xéq = k1 `01 + k2 (L − `02 ) mω02 et en remplaçant mω02 = k1 + k2 , xéq = k1 `01 + k2 (L − `02 ) . k1 + k2 4 Les solutions de l’équation du mouvement s’écrivent toutes sous la forme d’une somme d’une solution particulière, en l’occurence x = xéq , et d’une solution de l’équation homogène, d’où x(t) = xéq + A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) . 5 D’après la première condition initiale, x(0) |{z} = xéq + A |{z} = x0 sol A = x0 − xéq . d’où CI Pour utiliser la seconde condition initiale, il faut connaître la vitesse, soit vx (t) = dx = −ω0 A sin(ω0 t) + ω0 B cos(ω0 t) . dt Ainsi, comme le solide est lancé vers la gauche vx (0) = −v0 , donc vx (0) |{z} = ω0 B |{z} = −v0 sol B= d’où CI v0 . ω0 Finalement, x(t) = xéq + (x0 − xéq ) cos(ω0 t) + v0 sin(ω0 t) . ω0 6 Voir figure 2.

Points importants du tracé : oscillations symétriques par rapport à la position d’équilibre xéq , qui restent bornées entre 0 et L.

Les conditions initiales doivent apparaître clairement : x(0) > xéq et la pente initiale doit être négative car le solide est lancé vers la gauche. x(t) L xéq t Figure 2 – Allure de x(t). 7 Avec ces nouvelles conditions initiales, la résolution reste formellement la même mais donne A=B=0 soit ∀t, x(t) = xéq On vérifie ainsi que xéq est bien une position d’équilibre du système. 2/7 Étienne Thibierge, 13 novembre 2017, www.etienne-thibierge.fr Correction TD E3 : Oscillateur harmonique Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Exercice 3 : Oscillateur masse-ressort vertical O 0 1 z(t) M .

Système : le cylindre de masse m ; .

Référentiel : celui de la classe, identique au référentiel terrestre, considéré galiléen ; .

Bilan des actions mécaniques : #” → Poids : P = m #” g = mg #” ez ; → Force.... »