Support de cours de la matière « Optimisation et Modélisation des procédés » destiné aux étudiants de deuxième année Master Génie chimique

« Avant-Propos Le présent document est un support de cours de la matière « Optimisation et Modélisation des procédés » destiné aux étudiants de deuxième année Master Génie chimique et Génie des Procèdes de l’environnement. Ce cours vise à développer chez l’étudiant des compétences liées à la maîtrise des connaissances essentielles à l’optimisation, la modélisation et la simulation des procédés et l’utilisation de logiciels de simulation dans le génie des procédés. Ce polycopié est structuré en trois chapitres.

Dans le premier chapitre, des notions de base sur la modélisation et la simulation des procédés sont données, ainsi que un rappel des lois fondamentales de la physique et de la chimie nécessaires à la modélisation en génie des procédés.

Le deuxième chapitre décrit en détails les différentes méthodes numériques pour résoudre des problèmes typiques du génie des procédés avec l'application des ces méthodes dans un logiciel.

Le chapitre trois est consacré à l'optimisation des procédés, avec quelques exemples illustratifs des problèmes d'optimisation. Chaque chapitre a été renforcé par des exercices avec leurs corrigés, pour approfondir la compréhension du cours. Une liste de références bibliographiques est donnée à la fin de ce manuscrit. 1 Table des matières Avant propos 1 Liste des figures 4 Chapitre I : Introduction à la Modélisation et la Simulation des Procédés I.1.

Introduction 5 I.2.

Définitions 5 I.2.1.

Système 5 I.2.2.

Procédé 6 I.2.3.

Processus 6 I.2.4 Modélisation 6 I.2.5.

Simulation 7 I.3.

Classification des modèles mathématiques 7 I.4.

Méthodologie pour le développement d’un modèle 8 I.5.

Modélisation de type physique 8 I.5.1 Lois fondamentales 9 Chapitre II : Méthodes de Résolution des Systèmes d’Equations Algébriques II.1.

Introduction 16 II.2.

Méthodes de résolution de système d’équations algébriques linéaires 16 II.2.1.

Méthodes directes 17 II.2.2.

Méthodes itératives 20 II.2.3.

Résolution de système d’équations algébriques linéaires dans Matlab 22 II.3.

Méthodes de résolution de système d’équations algébriques non linéaires 27 II.3.1.

Résolution de système d’équations algébriques non linéaires dans Matlab 28 II.4.

Résolution de système d’équations différentielles 37 II.4.1.

Définitions 37 II.4.2.

Méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires 37 II.4.3.

Résolution des équations différentielles ordinaires dans Matlab 42 Chapitre III : Optimisation des Procédés III.1.

Introduction 46 III.2.

Généralités 46 III.3.

Application de l’optimisation en génie chimique 47 III.4.

Approches mathématiques de l’optimisation 48 III.4.1.

Optimisation sans contraintes 48 III.4.1.1.

Méthode de résolution d’un problème d’optimisation sans contraintes 48 2 III.4.2.

Optimisation non linéaire avec contraintes 53 III.4.2.1.

Optimisation non linéaire avec contraintes d’égalités 53 III.4.2.2.

Optimisation non linéaire avec contraintes d’inégalités 55 III.4.2.3.

Résolution des problèmes d’optimisation non linéaire avec contraintes dans Matlab 56 III.4.3.

Optimisation linéaire 60 III.4.3.1.

Définition 60 III.4.3.2.

Exemples de problèmes de programmation linéaire 60 III.4.3.3.

Résolution de problèmes de programmation linéaire 64 III.4.3.3.1.

Méthode graphique 64 III.4.3.3.2.

Méthode de simplexe 66 III.4.3.4.

Résolution de problèmes de programmation linéaire dans Matlab 69 Références bibliographiques 72 3 Liste des figures Chapitre I : : Introduction à la Modélisation et la Simulation des Procédés Figure I.1 : Schéma d’un système comportant des entrées, des sorties et des perturbations Figure I.2 : Schéma d’un procédé transforme des réactifs en produits Figure I.3 : Schéma d’un procédé de mélange page 5 6 9 Chapitre II : Méthodes de Résolution des Systèmes d’Equations Algébriques Figure II.1 : Figure II.2 : Figure II.3 Figure II.4 Figure II.5 Figure II.6 Procédé de séparation de l’acétone Conservation de la masse dans un système de réacteurs Distillation flash Schéma d’un réacteur fermé Schéma d’un réacteur continu parfaitement agité Concentration de A, B et C en fonction de temps 24 26 30 39 43 45 Chapitre III : Optimisation des Procédés Figure III.1 : Exemple de conception économique d’une chaudière 47 Figure III.2 : Extremums globaux et locaux d’une fonction f Figure III.3 : Représentation graphique du problème 48 65 4 Chapitre I : Introduction à la Modélisation et la Simulation des Procédés I.1 Introduction En génie des procédés, le modèle mathématique est un excellent moyen de capitaliser de la connaissance et peut être considéré comme un vecteur essentiel du transfert de connaissances acquises en recherche vers les unités opérationnelles et décisionnelles.

Il permet de pouvoir comprendre les phénomènes physiques, chimiques et biologiques mis en jeu pour mieux concevoir, optimiser, faire fonctionner, contrôler et faire évoluer les procédés de transformation de la matière. Les modèles peuvent être utiles dans toutes les phases d’ingénierie : de l’étape de recherche et développement à la conduite du procédé, et pour les études économiques.

Dans la mesure du possible, l’activité de modélisation et le développement du procédé doivent donc se faire de manière simultanée. Ce chapitre fournit des connaissances essentielles à la modélisation et la simulation des procédés.

Nous ferons aussi un rappel des lois fondamentales de la physique et de la chimie pour établir des modèles en génie des procédés. I.2 Définitions I.2.1 Système C’est un ensemble des processus, il comporte des entrées et des sorties.

Ses entrées sont les paramètres qui agissent sur son comportement.

Elles peuvent être contrôlées ou non.

Ses sorties sont les paramètres résultant des valeurs données aux entrées. Perturbation Sortie Entrée Commande Figure I.1 : Schéma d’un système comportant des entrées, des sorties et des perturbations 5 Pour illustrer cette notion, considérons un réacteur agité adiabatique fonctionnant en régime permanent dans lequel se produit une réaction chimique A B.

Les variables d'entrée du système sont le débit de charge, la concentration de A, la température du réacteur, le volume du réacteur; les variables de sortie sont le taux de conversion de A en B ou bien les concentrations de chaque constituant et la température de sortie. I.2.2 Procédé Un procédé est un moyen utilisé en vue de produire quelque chose. I.2.3 Processus C’est l’ensemble d’opérations unitaires permettant la transformation de matières premières ou des réactifs en produits et/ou sous produits.

On utilise alors différents équipements de production : réacteur, séparateur, échangeur de chaleur, pompe… On distingue généralement les réacteurs qui sont constitués par des enceintes dans lesquelles se déroulent les réactions chimiques, et les opérations de séparations qui sont destinées à séparer et purifier les constituants d’un mélange. Figure I.2 : Schéma d’un procédé transforme des réactifs en produits I.2.4 Médélisation Définir la modélisation en génie des procédés est une tâche délicate tant elle recouvre d'actions et d'objectifs divers.

Dans tous les cas, il s’agit de construire une représentation la plus proche possible du fonctionnement d’un système réel afin d’en analyser le comportement ou de réagir à un comportement. 6 • Modèle : En génie des procédés, le terme « modèle » se réfère à un ensemble d’équations mathématiques construit sur la base de données expérimentales acquises sur le système réel et permettant de représenter les relations entre les sorties et les entrées du système. De telles équations sont obtenues en écrivant les équations de conservation de matière, d’énergie et de quantité de mouvement autour de chaque unité du procède.

Les équations ainsi obtenues pour chaque unité forment le modèle de cette unité. La structure du modèle d’un procède dépend des phénomènes mis en jeu dans ce procède.

Ces phénomènes peuvent être de différents types : - Les phénomènes de transfert de matière et de chaleur au sein d’une même phase ou entre phase ; - Les phénomènes de mélange dans les appareils ; - Les phénomènes lies à la cinétique chimique ou biologique des réactions mises en jeu ; - Et enfin, les phénomènes thermodynamiques régissant les équilibres physicochimiques et les propriétés physiques de la matière. I.2.5 Simulation La simulation consiste alors à conduire des expériences sur le modèle pour en déduire les performances du système, prédire son comportement, tester sa conformité aux normes etc.… Il s’agira souvent d’utiliser des logiciels pour la programmation des modèles analytiques ou descriptifs et leur manipulation afin de réaliser et visualiser des expérimentations. I.3 Classification des modèles mathématiques Il existe différents types de modèles mathématiques, ils sont déterminés par les conditions de réalisation de processus. • Le caractère des régimes de fonctionnement - Les modèles statiques : les grandeurs envisagées (débit, température,...), ainsi que les bilans de matière et d'énergie en régime stabilisé. • Les modèles dynamiques : les grandeurs envisagées dépendent du temps. les propriétés dynamiques - Modèles à paramètres localisés : les variables varient seulement en fonction du temps. Exemple la variation du flux de chaleur d’un liquide chauffé par un réchauffeur. - Modèles à paramètres distribués : les variables varient aussi bien en fonction du temps que de l’espace.

Exemple la pression le long d’un gazoduc. • l'évolution des paramètres 7 - Modèles déterministes : les variables varient de façon continue, à une valeur.... »