PARTICULE DANS UNE BOiTE À UNE DIMENSION
Publié le 10/12/2011
Extrait du document
Le modèle de la particule dans une " boîte " à une dimension, bien que très sommaire, rend bien compte de la quantification des niveaux d'énergie atomiques ou nucléaires et de l'ordre de grandeur des quanta d'énergie.
QUANTIFICATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT
Une particule libre se déplace sur un axe Ox entre deux points 0 et A distants de a, mais elle ne peut pas franchir ces deux points : en d'autres termes sa probabilité de présence est nulle à l'extérieur de OA.
«
452 .2 .
QUANTIFICATION DE L'ÉNERGIE
La particule étant libre entre 0 et A.
son énergie E est purement cinétique .
Si on se limite au cas où cette particule n'est pas de grande énergie :
1 p> E = 2mv> = 2m
où m est la masse de la particule et V" sa vitesse (mV" = P}.
Donc : E = n2E, 'Tr2fi2 en posant 2ma> = E,
L'énergie de la particule est donc elle aussi quantifiée; elle ne peut prendre que les valeurs: E,, 4E,, 9E,, 16E,, ..
.
Exemples : 1.
Un électron lié à un atome reste à une distance x du noyau
de l'ordre de rangstriJm (10 - 10 m) sous l'action des forces électrostatiques ;
en utilisant le modèle de la boÎte calculer l'ordre de grandeur du quantum
élémentaire d'énergie atomique E, en prenant a= 1 A, puis a= 10Â .
La
masse de l'électron est m "" 1 0 ·30 kg :
On trouveE ,~ 34 eV avec a= 1 Â etE,~ 0,34eVavec a = 10Â .
2.
Quel est l'ordre de grandeur du quantum élémentaire d'énergie nucléaire E, pour un nucléon (neutron ou proton de masse 1, 7.
10 - 27 kg) confiné dans
le noyau , dont les dimensions sont de l'ordre du fermi (1 fermi = 10- 15 m)? On prendra a= 1 fermi, puis a= 10 fermi dans le modèle de la boÎte.
On obtient E, ~ 200 MeV avec a= 1 fermi, E, ~ 2 MeV avec a= 10 fermi.
On trouve ainsi l'ordre de grandeur des quanta d'énergie atomique:.
et nucléaire::.
e Remarque: Pour un objet macroscopique, les quanta sont négligeables.
Exemple : Quel est le quantum élémentaire
v, de vitesse pour une balle
de tennis (m = 100 g) oscillant entre deux murs espacés de a = 10 m en
l'absence de pesanteur ? On utilisera le modèle de la boÎte .
La vitesse de la balle est v= P/m = n1rh/ma = nv,.
Le calcul donne v, = 1rh/ma = 3,3 .
10- 34 m.s·': c 'est inappréciable 1.
»
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