Oscillateur mécanique Métropole, groupement II et III, juin 1997

Dans un plan horizontal, on considère un système oscillant formé d'un mobile autoporteur lié à deux points fixes par l'intermédiaire de deux ressorts élasti­ques identiques, de masses négligeables, et de même axe. Le système, initiale­ment au repos, est écarté de sa position d'équilibre en déplaçant le centre d'inertie G du mobile le long de l'axe des deux ressorts. L'ensemble des deux ressorts est équivalent à un ressort de constante de raideur k = 15,4 N • m^-i .

On rappelle que :

—               les notations y et ; représentent respectivement les dérivées première et seconde de y par rapport au temps;

—               l'élongation y d'un oscillateur linéaire sans amortissement satisfait à l'équa­tion différentielle y + w²y = 0, dont les solutions y( t) sont sinusoïdales, de pulsation w.

Une table à numériser permet la détermination des positions successives y de G dans un repère lié à la table; la trajectoire de G est portée par l'axe y'y. Un logiciel de traitement de données permet d'afficher les points correspondant

aux couples ( t, y), ( t, ;), ou toute autre fonction souhaitée, et d'en représen­ter les courbes.

Partie A.

Dans toute cette partie, le mobile a pour masse m = 200 g et le système con­sidéré est non amorti.

1.La figure 1 représente l'ensemble des points d'enregistrement ( t, y). Ces points se situent sur une courbe d'allure sinusoïdale. Déterminer graphi­quement la valeur de la période Tet de l'élongation maximale Y_n., de y À partir de la valeur de 7; calculer la pulsation w de cet oscillateur.

2.La figure 2, représente les couples (y, y). Montrer que ce graphique est en accord avec l'équation différentielle proposée.

Que représente le coefficient directeur de la droite support de cet ensemble de points ? Déterminer graphiquement sa valeur et en déduire l'ordre de grandeur de la pulsation de l'oscillateur.

3.Les valeurs expérimentales de la pulsation déterminées en A. 1. et A. 2. sont-elles compatibles avec la valeur théorique de la pulsation propre (A₎ de cet oscillateur?