mécanique des fluides

GÉNÉRALITÉS1 - DéfinitionUn fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites etlibres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sansrigidité et qui peut s'écouler. Parmi les fluides, on fait souvent la distinction entre liquides et gaz.2 - Liquides et gazLes liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux. La propriété physique qui permetde faire la différence entre les deux est la compressibilité.• l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.• la mobilité fait qu'ils n'ont pas de forme propre et qu'ils prennent la forme du récipient qui les contient.• la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d’un fluide réel s'accompagne d'une résistance(frottements).3 - Forces de volume et forces de surfaceComme tout problème de mécanique, la résolution d'un problème de mécanique des fluides passe par ladéfinition du système matériel S, particules de fluide à l'intérieur d'une surface fermée limitant S. À ce système onapplique les principes et théorèmes généraux de mécanique et thermodynamique :• principe de la conservation de la masse.• principe fondamental de la dynamique.• principe de la conservation de l'énergie.Fichier : Poly-mecaflu.doc © J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 2 / 14tq m m ΔΔ=tq V V ΔΔ=DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES (F1)1 - DEFINITIONSLe débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cetécoulement.1.1 - Débit-masseSi Δm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition ledébit-masse est :unité : kg·s-11.2 - Débit-volumeSi ΔV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Δt, par définition ledébit-volume est :unité : m3·s-1.1.3 - Relation entre qm et qVLa masse volumique ρ est donnée par la relation : ρ =ΔΔmVd'où : m V q = ρ qRemarques :Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulementsisovolumes.Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation depression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.1.4 - Écoulements permanents ou stationnairesUn régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression,température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.Fichier : Poly-mecaflu.doc © J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 3 / 142 - Équation de conservation de la masse ou équation de continuité2.1 - DéfinitionsLigne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne decourant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide.Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points auvecteur vitesse du fluide en ce point.Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant surune courbe fermée.Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élémentde surface ΔS.La section de base ΔS du tube ainsi définie est suffisamment petitepour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points(répartition uniforme).2.2 - Conservation du débitConsidérons un tube de courant entre deux sections S1 et S2. Pendant l'intervalle de temps Δt, infiniment petit, lamasse Δm1 de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse Δm2 ayant traversé la section S2.qm1 = qm2 En régime stationnaire, le débit-masse est le même à travers toutes les sectionsdroites d'un même tube de courant.Dans le cas d'un écoulement isovolume (ρ = Cte) :qv1 = qv2 En régime stationnaire, le débit-volume est le même à travers toutes les sectionsdroites d'un même tube de courant2.3 - Expression du débit en fonction de la vitesse vLe débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v,correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.Il en résulte la relation importante : q v S v =2.4 - Vitesse moyenneEn général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil devitesse (à cause des forces de frottement). Le débit-masse ou le débit-volume s'obtient en intégrant la relationprécédente :Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne vm la vitesse telle que : Sv qVmoy =La vitesse moyenne vmoy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit quela répartition réelle des vitesses.Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.q v S v S Cte V 1moy 1 2moy 2 = = = C'est l'équation de continuité.1221SSvv = La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.ligne de courantsurface Δ S entourant le point Mfilet de couranttube de courantMvsection S2section S1S S vmoyFichier : Poly-mecaflu.doc © J. CARBONNET - M. ROQUES académie de Nancy-Metz Page 4 / 14H Ctegz P2gv2= =ρ+ +3 - Théorème de BERNOULLI3.1 - Le phénomèneObservations• Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné.• Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus.Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.3.2 - Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressibleUn fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement.On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait,entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il n’y a aucune machinehydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).Soit m la masse et V le volume du fluide qui...