Cours mécanique des fluides

« Mécanique des fluides I) Etude phénoménologique des fluides : 1 – L’état fluide 2 – Grandeur moyenne locale, particule fluide 3 – Contraintes dans les fluides II) Champ des vitesses dans un fluide : 1 – Description lagrangienne, description eulérienne 2 – Champ de vitesse, lignes de courant et trajectoires : 3 – Dérivée particulaire du champ des vitesses 4 – Equation locale de conservation de la masse et conséquences 5 – Cas des écoulements incompressibles 6 – Exemple : écoulement autour d’une aile d’avion III) Equations dynamiques locales des fluides parfaits : 1 – Forces volumiques, forces massiques 2 – Equation d’Euler, applications 3 – Relations de Bernoulli, applications IV) Ecoulements d’un fluide réel ; viscosité d’un fluide et nombre de Reynolds : 1 – Constatations expérimentales 2 – Equations du mouvement d’un fluide visqueux incompressible (équation de NavierStokes) 3 – Exemples de résolution de l’équation de Navier-Stokes 4 – Similarité et nombre de Reynolds 5 - Interprétation du nombre de Reynolds (ou autre définition) Mécanique des fluides V) Bilans dynamiques et thermodynamiques : 1 – Système ouvert, système fermé 2 – Bilans d’énergie interne et d’enthalpie 3 – Bilans de quantité de mouvement 4 – Bilans de moment cinétique (le tourniquet hydraulique) 2 Mécanique des fluides Mécanique des fluides La mécanique des fluides est un sous-ensemble de la mécanique des milieux continus.

Elle comprend l'étude des gaz et des liquides à l'équilibre et en mouvement, ainsi que l'étude de l'interaction de ces derniers avec les corps solides.

Son importance s'explique par le fondement théorique qu'elle offre à de nombreuses disciplines - la météorologie, l'hydrologie, l'aérodynamique, l'étude des plasmas -, ce qui indique l'ampleur de son champ d'investigation. La maîtrise de l'eau, comme de l'air, a intéressé les hommes depuis la préhistoire, pour résoudre les problèmes d'irrigation et utiliser la force du vent pour propulser les bateaux.

C'est Archimède, au IIIème siècle av.

J.-C., qui a été le véritable initiateur de la "mécanique des fluides " en énonçant le théorème qui porte son nom.

Bien qu'ils ne connussent pas les lois de l'hydraulique, les Romains utilisaient ses applications pour la construction de canaux ouverts pour la distribution d'eau.

On l'ignore souvent, mais Léonard de Vinci a laissé des notes relatives aux vagues, aux tourbillons, aux corps flottants, aux écoulements dans des tubes et à la machinerie hydraulique. C'est lui qui a conçu, le premier, un parachute, l'anémomètre (pour mesurer la vitesse des vents ) et une pompe centrifuge.

Au XVIIème siècle, Pascal, à la suite de travaux sur le développement de méthodes de calcul, a donné un nouvel essor à l'hydraulique en expliquant, entre autres, les expériences de son contemporain Torricelli sur les pompes aspirantes.

Ses travaux ont été repris durant les siècles suivants avec, en particulier, les innovations de Pitot (rendement des machines hydrauliques, tube de Pitot ) et Venturi (travaux hydrauliques, construction d'une tuyère à cônes divergents ).

Les théoriciens Bernoulli et Euler ont grandement contribué à la formulation des principes de l'hydrodynamique ; de même, les travaux de Navier, en théorie générale de l'élasticité, et de Barré de Saint-Venant, auteur des premières expériences précises sur l'écoulement des gaz à grande vitesse et d'études théoriques complétées par Stokes, ont fait avancer de manière décisive la mécanique des fluides.

Mais il a fallu attendre le XXème siècle, avec la convergence de connaissances mathématiques et expérimentales et l'utilisation de calculateurs de plus en plus puissants, pour que soient véritablement abordés des problèmes aussi complexes que les écoulements de fluides visqueux dans des tuyaux cylindriques, et que soient expliquées les différences entre les écoulements laminaires - étudiés par Poiseuille au milieu du XIXèmesiècle - et turbulents, par les travaux de Reynolds, notamment.

Ces domaines d'études, ainsi que les problèmes de couche limite développés par Prandtl ou ceux d'écoulements turbulents traités par Karman, font, aujourd'hui encore, l'objet de recherches poussées. L'étude des fluides au repos dans un repère donné constitue la statique des fluides.

Elle comprend la statique des liquides (ou hydrostatique ) et la statique des gaz (ou aérostatique ).

La dynamique des fluides étudie, pour sa part, les fluides en mouvement.

On distingue la dynamique des liquides (ou hydrodynamique ) et la dynamique des gaz (ou aérodynamique ).

En outre, la dynamique des fluides conducteurs de l'électricité en présence de champs magnétiques constitue un domaine à part, que l'on nomme magnétohydrodynamique.

Les diverses branches de la mécanique des fluides jouent un grand rôle dans de nombreux domaines, tant dans l'industrie que dans la recherche. 3 Mécanique des fluides L'hydrodynamique est nécessaire à la compréhension du fonctionnement de nombreux engins (pompes, moteurs, échangeurs de chaleur...) dans lesquels interviennent des écoulements de fluides dans des conduites.

Elle est également à la base de la construction navale, de l'hydrologie, de l'océanographie. L'aérodynamique permet de concevoir avions, fusées, navettes spatiales...

Sa connaissance contribue à la diminution de la consommation d'énergie des véhicules, en préconisant pour ceux ci des formes "aérodynamiques ", qui réduisent l'effet de la résistance de l'air à l'avancement. L'aérodynamique est également à la base de la météorologie et de l'étude de l'atmosphère des autres planètes. La magnétohydrodynamique joue un rôle essentiel en astrophysique (modèles d'étoiles, dynamique de la matière interstellaire ).

Elle intervient également dans l'étude des gaz ionisés, ou plasmas (décharges électriques dans les gaz, confinement des plasmas par champs magnétiques destiné à la production contrôlée d'énergie par fusion thermonucléaire ).

Elle a aussi permis de réaliser des prototypes de centrales convertissant directement de l'énergie thermique en énergie électrique (convertisseurs magnétohydrodynamiques ). I) Etude phénoménologique des fluides : 1 – L’état fluide : Un fluide est un système composé de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres.

Dans un liquide comme dans un gaz, le mouvement des molécules est désordonné : c’est l’agitation thermique. D’un point de vue quantitatif, on relève les différences suivantes : • Dans un liquide, les distances intermoléculaires sont de l’ordre de grandeur des dimensions moléculaires, alors que dans un gaz, elles sont beaucoup plus grandes.

Les forces d’interaction entre molécules (forces de Van der Waals en 1 / r 7 ) jouent un rôle beaucoup plus important dans les liquides que dans les gaz. • Aux pressions usuelles, la densité particulaire des liquides est de l’ordre de 1 000 fois celle des gaz. • Le coefficient de compressibilité χ d’un gaz est très supérieur à celui d’un liquide : dans la plupart des problèmes, les liquides pourront être considérés comme incompressibles. Selon la définition élémentaire, un liquide a "un volume propre, mais pas de forme propre ", alors qu'un gaz n'a pas de "volume propre mais tend à occuper tout l'espace qui lui est offert ".

En réalité, la distinction entre liquide et gaz n'est pas toujours évidente : en effet, le passage de la phase gazeuse à la phase liquide peut se faire sans transition (on parle alors de continuité de l'état fluide ).

Toutefois, dans les conditions normales de pression et de température, la phase liquide et la phase gazeuse se différencient très nettement. Dans un liquide comme dans un gaz, les molécules sont animées de mouvements désordonnés. Cependant, dans un liquide, les molécules sont distantes les unes des autres d'une longueur correspondant environ à leur taille, alors que dans un gaz les distances entre molécules sont très grandes par rapport à leur dimension.

Les forces dites d'interaction moléculaire jouent donc un rôle important dans l'état liquide alors qu'elles n'interviennent que très peu dans l'état gazeux.

Le modèle de gaz parfait, qui suppose que les molécules n'interagissent pas entre elles, rend compte assez convenablement des propriétés de la plupart des gaz. 4 Mécanique des fluides Les liquides et les gaz se distinguent par leur compressibilité.

On appelle coefficient de compressibilité le rapport de la diminution relative de volume à l'augmentation de pression, et ce à température constante.

Ce paramètre a donc la dimension de l'inverse d'une pression.

Les liquides ont des compressibilités très faibles (celle de l'eau, à une température de 20 °C, est de 4,4 10 -10 ), qui varient peu avec la pression et la température.

Ainsi, un accroissement de pression de 2.10 15 Pa se traduit par une diminution de volume de l'eau égale à un dix millième du volume initial, soit, pour donner un ordre d'idée, 0,1 cm 3 pour 1 L.

Pour les gaz, le coefficient de compressibilité varie plus : à une pression voisine de la pression atmosphérique normale, la compressibilité de l'air est 20 000 fois plus grande que celle de l'eau. Admettre qu'un fluide est incompressible revient à dire que sa masse volumique est constante.

Le plus souvent, les liquides sont considérés comme des fluides incompressibles.

En revanche, l'étude d'un gaz demande de prendre en compte sa compressibilité ; il existe cependant des conditions dans lesquelles un écoulement gazeux peut être assimilé à un écoulement incompressible (lorsque la vitesse de l'écoulement est très petite par rapport à celle du son ). 2 – Grandeur moyenne locale, particule fluide : Une particule de fluide est un élément de volume de.... »