Vous exposerez sommairement la différence de structure entre la Logique classique (celle d'Aristote et de Port-Royal) et les Logiques modernes (Logistique et Axiomatique). Vous dégagerez la signification philosophique de cette opposition.

« fortement toutes les hésitations concernant la signification des termes et la vérité des thèses de la scienceconstruite ; ces hésitations ne s'appliquent plus qu'à un petit nombre de termes primitifs ou d'axiomes.

» Parexemple, dans l'Axiomatique géométrique de HILBERT, le système d'axiomes de base se réduit aux cinq groupes : 1°des axiomes d'association ; 2° des axiomes d'ordre ; 3° de l'axiome des parallèles (postulat d'Euclide) ; 4° desaxiomes de congruence ; 5° de l'axiome de continuité ; et ce système permet de construire toutes les géométriespossibles.

— De tels systèmes d'axiomes doivent satisfaire à trois conditions.

1° Ces axiomes doivent être non-contradictoires, compatibles entre eux ; autrement dit, le système doit être cohérent.

Cette condition n'estd'ailleurs pas toujours satisfaite de façon évidente : c'est ainsi que HILBERT, s'il a pu établir la cohérence desaxiomes de la géométrie, n'a pu démontrer celle de l'Axiomatique arithmétique sur laquelle ils reposent ; on a établiau contraire l'impossibilité d'exécuter une telle démonstration par des moyens empruntés à l'Arithmétique elle-mêmeou à la Logique seules (théorème de GoeDEL).

— 2° En second lieu, le système d'axiomes fondamentaux doit êtrecomplet ou, comme on dit, « saturant » : il ne doit pas être possible d'y ajouter ou d'y enlever des éléments.

— 3°Enfin les axiomes doivent être indépendants les uns des autres : ce n'est pas là une condition absolue ; mais «il estsouhaitable que, dans un système d'axiomes, aucun de ces derniers ne puisse être établi à partir des axiomesrestants », ce qui « ferait croire que l'auteur a insuffisamment élaboré sa construction » (BOLL).

— L'Axiomatique aeu incontestablement l'avantage de fournir une « organisation indispensable de la rigueur » (BACHELARD).

Mais on avu qu'elle se heurte parfois à certaines difficultés.

Elle ne réussit pas toujours d'ailleurs à éliminer toute donnéeintuitive, d'autant plus que, comme l'a suggéré F.

GONSETH, l'axiomatisation n'est peut-être qu'à la limiteindépendante de l'intuition concrète.

Enfin l'on peut se demander si l'emploi de la méthode axiomatique ne supposepas lui-même la Logique, ainsi que le soutient J.

PIAGET (Tr.

de Logique, p.

292). IV.

Signification de l'opposition. Demandons-nous maintenant quelle est la signification de l'« opposition » entre ces différentes Logiques.

— Etd'abord y a-t-il vraiment «opposition»? Beaucoup plutôt pourrait-on dire, nous semble-t-il, qu'il y a eu : 1°élargissement, la Logique classique ne s'appliquant qu'aux relations logiques les plus élémentaires et se plaçant doncà un point de vue trop étroit ; 2° accroissement de précision et de rigueur, grâce : a) à la formulation plus explicitedes hypothèses de base ; b) à l'emploi du symbolisme algorithmique.Il y a bien un aspect cependant sous lequel il y a vraiment opposition.

C'est que la Logique classique supposait uneseule structure possible de la pensée rationnelle.

Les nouvelles Logiques nous montrent au contraire qu'il y a unepluralité de structures possibles1, de même qu'il y a, par exemple en géométrie, une pluralité de systèmes déductifspossibles.

La raison est une; mais l'évolution des sciences nous montre que l'esprit dispose,, pour satisfaire à sesexigences, de plus d'une méthode et de plus d'un procédé.. »