Une démonstration REPOSE-T-ELLE SUR UNE CERTITUDE?
Publié le 25/01/2020
Extrait du document
• Pour Poincaré, le raisonnement mathématique par excellence est le raisonnement par récurrence. Il s'agit de montrer que «si le théorème est vrai de n - 1, il l'est de n», Il suffît alors d'établir la vérité du théorème pour n = 1, et sa vérité est établie pour l'infini. Cette démarche contient, dans une formule unique, une infinité de syllogismes hypothétiques : le théorème est vrai de 1 ; or s'il est vrai de 1, il est vrai de 2; donc il est vrai de 2; etc. D'où vient l'irrésistible nécessité de cette généralisation, appelée aussi induction mathématique! Elle n'est que « l'affirmation de la puissance de l'esprit, qui se sent capable de concevoir la répétition indéfinie d'un même acte dès que cet acte est une fois possible».
• Poincaré oppose démonstration et vérification. La première est basée sur l'induction mathématique : elle nous apprend quelque chose de nouveau, car la conclusion est plus générale que les prémisses. La seconde se réduit à la constatation d'une identité, en rapprochant des définitions différentes d'un même objet. Il critique la prétendue «démonstration » que Leibniz propose de «2 + 2 = 4» (Nouveaux Essais sur l'entendement humain, IV, VII). Pour Poincaré, tout énoncé particulier pourra toujours être ainsi vérifié, mais il ne s’agit pas de démonstrations : pour que les mathématiques soient une science, il faut qu'elles portent sur le général et non sur le particulier (Sur la nature du raisonnement mathématique, 1894).
«
•Alors que chez Euclide, les prémisses étaient reçues comme des véri
tés évidentes, les mathématiques modernes parlent d'axiomatique,
où les prémisses perdent leur évidence.
A partir de postulats qu'il
...1 tenait pour les seuls possibles, Euclide avait déduit qu'une seule
.~ parallèle à une droite peut être menée par un point.
Or Lobachevski,
it puis Riemann, au x1x• siècle, montrèrent que l'on pouvait construire
111 des géométries non euclidiennes, en changeant les postulats de
...1 départ.
Les axiomes, au lieu d'être considérés comme des «notions
1- communes» ou vérités premières indémontrables, furent considérés 111 comme des conventions, que l'on pouvait choisir librement.
Est-ce
Z dire que les démonstrations ne sont possibles qu'au sein d'un jeu de
~ l'esprit, qui ne parle pas de la réalité mais de ses propres construc
- tions? Henri Poincaré montre qu'en plus des conventions, les mathé
~ matiques reposent sur l'intuition directe que l'esprit a de sa propre.
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