Sciences & Techniques: Les nombres complexes

« Leur définition est simple : un entier naturel est dit " premier " si aucun nombre ne le divise, sauf 1 et lui-même. La liste est facile à démarrer : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… (le 1 est considéré comme n'étant pas premier, par convention). Trois siècles av.

J.-C., Euclide savait déjà que les nombres premiers sont des stars.

Et il a prouvé ce queses collègues d'aujourd'hui considèrent comme le théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombrenaturel plus grand que 1 ou bien est premier, ou peut s'exprimer comme un produit de nombres premiers,et ce d'une manière unique.

Par exemple, 75900 est un produit de 7 facteurs premiers.

75900 = 2 5 2 5 3 55 5 5 5 11 5 23.

L'expression à droite du signe égal s'appelle la décomposition en facteurs premiers. L'univers des nombres premiers est farci de mystères et d'étonnements.

Par exemple, on les voit souvent arriver par paires de"jumeaux" qui diffèrent de 2 : 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31, 29669 et 29671… Mais on ne sait toujours pas si la liste des "jumeaux" estinfinie ou pas. Y a-t-il un dernier nombre premier ? On serait tenté de répondre " oui ", car à mesure qu'on avance dans l'ensemble N, les nombrespremiers semblent se raréfier, s'éclaircir.

Finissent-ils par disparaître ? Non ! Euclide, encore lui, a montré que la liste des nombrespremiers est infinie. David Slowinsky, célèbre chasseur de nombres premiers, a découvert, à l'aide d'un ordinateur Cray, le plus grand nombre premierconnu.

Ce mastard s'écrit : 21257787 – 1.

Soit un 2 multiplié 1257787 fois par lui-même, en ôtant 1 au résultat : un tel nombre s'écritavec 378632 chiffres à la queue leu leu. A quoi bon chercher de pareils mastodontes ? Les grands nombres premiers servent à tester les capacités de calcul dessuperordinateurs.

Sans eux, on ne saurait pas non plus crypter les messages avec efficacité.

Ils sont aussi très utilisés pour fabriquerles codes correcteurs d'erreurs dans les transmissions d'images et de données (satellites, sondes spatiales…), et dans les lecteursde CD haut de gamme. Z qui veut dire entiers relatifs Les entiers naturels, c'est simple, presque intuitif, un vrai régal quand on n'aime pas les complications.

Seulement voilà, lesmathématiciens se sont retrouvés un beau jour devant un problème que leurs gentils nombres naturels ne pouvaient pas résoudre. Plus simple que ledit problème, tu meurs ! 3 – 5, ça fait quoi ? Ou, si vous préférez l' algèbre , x + 5 = 3, cherchez la valeur de x ! Euh, bof, ben !...

Vous avez le choix entre trois attitudes.

Soit vous répondez : " horreur, scandale, vade retro Satana ! cette opérationn'a pas de sens car elle est interdite dans le seul ensemble qui vaille, celui des entiers naturels " ! C'est à peu près l'attitude dessavants de la Grèce antique.

Soit vous dites : " 3 – 5, ça fait – 2.

J'accepte ce résultat parce qu'il permet de trouver une solution auproblème.

Mais à contrecœur car l'idée même de nombre négatif est absurde " ! Le grand Pascal lui-même considérait qu'un " nombreplus petit que 0 " ne pouvait pas exister ! Enfin, la troisième attitude consiste à dire : " Ben quoi, un nombre négatif, c'est pas la mer àboire ! Il y en a bien sur les thermomètres, les cartes marines et dans les bilans comptables des commerçants ".

C'est évidemmentcette acceptation sans réserve qui prévaut aujourd'hui.

Les nombres négatifs sont des nombres, un point c'est tout.

Ils appartiennent àun ensemble noté Z, l'ensemble des entiers relatifs, dont la partie positive n'est autre que ce bon vieux N lui-même.

On dit que N estun sous-ensemble de Z. Du coup, notre droite numérique reçoit une extension infinie vers la gauche.

Bien sûr, les nombres relatifs se manipulent un peudifféremment de leurs cousins naturels.

Voici la fameuse règle des signes telle que le médecin parisien Nicolas Chuquet l'énonçait auXVe siècle : " Qui multiplie plus par moins ou vice versa, il en vient toujours moins.

Qui multiplie plus par plus et moins par moins et ilen vient plus.

Et qui partit (= divise) plus par moins ou moins par plus il en vient moins ".

Vous avez les paroles : reste à trouver lamusique et à apprendre par cœur… Q la raison triomphe Comme nous ne cessons de le vérifier depuis un moment, le moteur des maths ce sont les problèmes.

Qu'ils restent sans solution etvoilà les matheux tout chagrins, obligés de revoir leurs définitions.

Par exemple, calculez x dans 3x – 4 = 0. Vous aurez beau passer en revue tous les entiers relatifs, vous n'en trouverez aucun qui soit solution de cette simple équation. La solution existe pourtant, mais dans un autre ensemble de nombres : c'est x = 4/3. Anatomie de cette bestiole : en haut, un entier appelé numérateur (ici, 4) ; puis un trait indiquant la division ; et, sous le trait, un autreentier, le dénominateur (ici, 3).

L'ensemble porte le nom de fraction.

Depuis près de 5000 ans, les fractions sont indispensables pourexprimer les mesures dont le résultat n'est pas un nombre entier.

Par exemple, partager 1 gâteau entre 7 convives : commentexprimer la part de chacun plus simplement que par 1/7? Les nombres qui s'écrivent comme un rapport (= division) de deux entiers sont dits nombres rationnels (du vieux mot " raison " qui. »