qu'est-ce qui fait la rigueur et la fécondité du raisonnement mathématique

Il me serait difficile de mesurer un angle à un millionième près, et ma mesure pourrait être discutée. Mais rien de plus facile que de se donner par hypothèse un angle mesurant exactement 90 degrés. La rigueur des sciences mathématiques, tient donc au caractère hypothético-déductif de leur méthode. II. - SA FECONDITE Il est assez courant d'opposer au raisonnement mathématique le syllogisme concluant du général au particulier, du type Tout homme est mortel... » : raisonnement évidemment infécond et même constituant une pétition de principe, puisque la vérité de la conclusion doit être connue avant qu'on puisse formuler la majeure. En mathématiques, au contraire, l'esprit procède d'une proposition universelle prise comme principe aux conséquences qui en découlent (non pas du triangle à tous les triangles, mais de la définition du triangle à ses propriétés, ou de quelqu'une de ces propriétés à une propriété identique de tous les polygones), et ces conséquences expriment, sans cercle vicieux, des connaissances nouvelles. On peut, il est vrai, éviter l'objection faite au syllogisme en transformant la majeure de proposition générale valable pour tous les cas d'une espèce déterminée en une proposition formulant une loi ou un principe ; je puis dire : « L'homme est mortel », sans savoir explicitement que « Socrate est mortel », et cette proposition, conclusion du syllogisme, m'apprend quelque chose de nouveau, sans qu'on puisse me reprocher de commettre une pétition de principe. Il n'en reste pas moins que, même dans le syllogisme concluant du principe à la conséquence, celle-ci est implicitement contenue dans les prémisses et que, par suite, la nouveauté se réduit à l'explicitation d'une connaissance implicite. La nouveauté de la conclusion du raisonnement mathématique est bien plus grande.