Qu'est-ce que l'axiomatique ? Son rôle dans le développement des mathématiques.

« B.

— La chose.a) Une axiomatique est une construction purement rationnelle, c'est-à-dire qu'elle élimine ce qui restait d'empirismedans la géométrie euclidienne et fait totalement abstraction de ce qui se passe dans le monde perçu par les sens.Un pas décisif fut effectué dans cette voie lorsque, par la substitution d'autres postulats aux postulats classiques,furent constituées les géométries non-euclidiennes.

Cet avènement entraînait la caducité du privilège ou dumonopole de la géométrie d'EucLiDE qui n'était plus dorénavant qu'une des géométries possibles.

Par conséquent, ilne fallait plus dire comme autrefois : « Étant donné que par un point pris hors d'une droite on ne peut mener qu'uneparallèle à cette droite.

» Il fallait s'exprimer hypothétiquement et dire: «Si nous admettons que...

».

Decatégorique, la démonstration est devenue hypothétique et l'ensemble du système, dont cette démonstration faitpartie, constitue un système hypothético-déductif.Sans doute, l'hypothèse de départ n'est pas totalement arbitraire et le groupe d'axiomes qui In constituent sontsoumis à certaines exigences rigoureuses dont la principale est qu'ils doivent être compatibles, c'est-à-dire ne passe contredire entre eux.

Mais ces exigences sont d'ordre rationnel et ne proviennent pas de la réalité empirique.

Onvoit aussi combien la constitution de systèmes hypothético-déductifs marque un progrès dans la voie de larationalisation. b) Toutefois, au niveau des géométries non euclidiennes, il s'en faut que l'élimination de l'empirique soit complète.

Eneffet, on y utilise toujours le vocabulaire de la géométrie d'EucLIDE; or, ce vocabulaire, nous l'avons dit, est celui detout le monde et reste associé au milieu réel à partir duquel il fut élaboré.

Pour purifier notre système conceptuel dece résidu d'empirique, on le présentera sous forme de construction symbolique, c'est-à-dire réduite à des symboles.Encore faut-il bien voir la portée de cette formule : « réduite à des symboles ».

Le symbole, au sens ordinaire dumot, renvoie à autre chose : la patrie, la mort, le travail...

Dans la construction axiomatique, le symbole ne renvoieà rien.

On peut faire correspondre les lettres de l'équation algébrique à n'importe quoi — et c'est ce qui fait la valeurpratique de ce mode de calcul — mais par elles-mêmes elles ne désignent rien de particulier.

Quand on les emploie, «on ne sait pas de quoi on parle » comme le dit RUSSELL.

Ce procédé d'expression symbolique que l'algèbre- restreintaux nombres, on retendra aux notions géométriques et même à toutes choses.

Ainsi, « au lieu d'écrire qu'un pointest situé sur une droite, on désignera, par exemple, la relations d'incidence par la lettre J, les points par lespremières lettres majuscules, les droites par les minuscules et l'on notera simplement : J (A, a) » (R.

BLANCHE,L'axiomatique, p.

48). c) Toute référence à une réalité empirique éliminée, il reste encore une donnée de fait qui paraît inaliénable, à savoirle sujet lui-même avec les lois de la pensée : s'imposant à l'axiomaticien comme à tout le monde, ces lois font que labase axiomatique n'est pas rigoureusement hypothético-déductive; elle implique des présupposés catégoriques.Seule une construction formalisée réalisera l'idéal vers lequel tend l'axiomaticien.Pour comprendre la nature de la formalisation, le plus simple est de partir de la notion de logique formelle.

Dansl'expression de la pensée, le logicien fait abstraction de la matière et ne considère que la forme ou la structure decette pensée.

Mais ces formes ou structures, il ne les crée pas, il ne les invente pas : il les constate parl'observation de l'activité mentale.

Sans doute, il constate aussi l'impossibilité, pour lui, de penser autrement; mais ilne peut constater qu'une nécessité de fait.

De ce point de vue, nous restons dans le donné empirique.A la différence du logicien classique, l'axiomaticien détermine par un libre choix les règles des diverses opérations quiinterviennent dans l'édification de sa systématique.

Plus d'intuition et d'appel à l'évidence, mais applicationmécanique de techniques opératoires.Ainsi, au stade de la formalisation, pensée et réflexion deviennent inutiles.

Aussi peut-on se demander sil'axiomatique formalisée présente quelque avantage et quel peut être son rôle. III.

SON RÔLE. A.

Nous avons vu l'axiomatique suscitée progressivement par la tendance naturelle de l'esprit à l'abstraction.

Ce faitnous suggère qu'elle joue en mathématiques et dans les sciences mathématisées le même rôle que l'abstraction dansla pensée ordinaire : elle permet de généraliser et de concevoir un au-delà du donné expérimental.L'abstrait n'existe que dans notre esprit et il n'y a dans le réel que des objets concrets et individualisés.

Mais c'estgrâce aux notions générales obtenues par abstraction que nous pouvons penser l'individuel, l'expliquer et organisernos explications en ces systèmes cohérents que sont les sciences particulières.

Elles nous permettent même deconcevoir des réalités dont nous n'avons aucune expérience : c'est ainsi que, sans être mystique, le philosophepeut se faire une idée de Dieu.Sur un autre plan, l'axiomatique joue un rôle analogue.

D'abord, procédant lui aussi par abstraction, l'axiomaticiengénéralise : des diverses constructions mathématiques il s'élève à l'idée d'une construction réduite aux principesimpliqués dans toutes, obtenant ainsi ce qu'on appelle une méta-mathématique.

Ensuite, procédant comme par jeu àdes constructions nouvelles sans aucun souci de leurs rapports avec le réel, il lui arrive de tomber sur desstructures qui correspondent mieux que toute autre à certains phénomènes.

Ainsi, par un paradoxe surprenant maissouvent vérifié, c'est parfois pour s'être éloigné du réel que le mathématicien trouve la formule qui l'exprime.B.

De plus, sous sa forme formalisée, l'axiomatique rend possible la mécanisation des opérations mentales,permettant de les effectuer avec plus de sûreté et surtout avec une rapidité beaucoup plus grande.Celui qui veut déterminer la correction d'un raisonnement évite bien des illusions et des pertes de temps s'il secontente de le confronter comme mécaniquement avec les règles du syllogisme.

De même le mécanisme desopérations arithmétiques ou algébriques est bien plus rapide que les opérations réelles auxquelles il se substitue etbien moins sujet à erreur.. »