Quel est l'objet des mathématiques ?

OBJET DES MATHÉMATIQUES ? A ? L'empirisme. Selon Stuart Mill « les points, les lignes, les cercles, que chacun a dans l'esprit, sont de simples copies des points, lignes, cercles qu'il a connus par l'expérience [...] la géométrie a pour objet les lignes, les angles et les figures tels qu'ils existent et les définitions doivent être considérées comme nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives à ces objets naturels ». Il en résulte que les postulats sont « des vérités expérimentales, des généralisations de l'observation ». Par exemple le sixième postulat d'Euclide (deux droites ne peuvent enclore un espace) est une « induction résultant du témoignage de nos sens ». ? Si l'on donne aux mathématiques cette origine expérimentale on comprend mal leur certitude apodictique. D'ailleurs « le droit est père du courbe » comme disait Platon, ce qui signifie que les objets réels ne peuvent être le modèle des objets mathématiques. ? B ? Le conventionnalisme. Poincaré considère les définitions et les postulats comme de pures conventions : « notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction ». Ainsi s'expliquerait l'existence des géométries non euclidiennes (Lobatchevsky, Riemann) et il faudrait dire que : « une géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre ; elle peut seulement être plus commode ».