Qu est-ce que la rigueur d un raisonnement mathématique ?

« LES ~!A TIIÉ)L~ TIQUES duns lequel Poi:'!CARÉ voyait lu forme mathématique de l'inducti()n, est en fait déductif.

Cf.

Précis, II, p.

40; Traité, II, p.

118-120).

En effet, dans le raisonnement mathématique, le10 lois de la logique formelle -s-ont rigou­ reusement observées, et la conc:lusion ne dépasse jamais ce qui est affirmé dan·s les prémisses.

b) 1Iuis on peut en dire autant de tout "Syllogisme c-orrect.

Or - la méta­ phy'lique en est la preuve - il ne suffit pas de raisonner en forme p-our faire admettre par tous les esprits la conclusion il laquelle -on aboutit.

Pourquoi 9 Souvent, parce que certains rejettent l'une ou l'autre des pré­ misses : dans ce ca;;;, le raisonnement peut conclure Tigoureusement, car la conclusion serait admise si les prémisses étaient acceptées.

Mais, dans d'autres cas, aucune de10 prémisses n'est formellement rejetée, et cepen­ dant la conclusion n'est pas admise parce que, des unes à l'autre, les termes changent plus ou moins de sens ou de valeur : on distingue et on ·sous-dj.stingue, et, dans cc jeu de distinctions, la pensée est exposée à perdre de sa fermeté et de sa rigueur.

Rien de tel en mathématiques : on pose au départ des définitions rigoureuses grâce auxquelle;; toute ambi­ guïté est impossible: les quantités sont connues avec une prec1s1on qui bannit tout ù peu près.

Aussi, quiconque admet les ba-ses de départ ne peut refuser les propositions d ·arrivée.

c) Or, les bases de départ sont d'autant plus facilement admises ct définies avec précision qu 'ellc·s sont hypothétiques et non catégorique,s.

Il me ·serait difficile de mesurer un angle à un millionnième près, et ma mesure pourrait être discutée.

Mais rien de plus facile que de se donner par hypothèse un angle mesurant exactement no degrés.

La rigueur de:; i'ciences mathématiques tient donc au caractère hypothé­ tico-déductif de leur méthode.

B.

Sa fécondité.

- a·, Il e'lt assez conrGnt rl ·opposer au raisonnement mathématique le ·syllogisme conclumd du géné·rnl nu particulier, du type " Tout homme est mortel ...

" : raisonnement évidemment infécond et même constituant une pétition de principe, puisque ln vérité de la conclus.ion doit être connue avant qu'on puisse formuler la majeure.

En mathéma­ tiques, au contraire, l'esprit procède d'une proposition vniverselle pr·ise comme principe aux conséquences qui en découlent (non pas du triangle à tou-s les triangles, mais de la dé·finition du triangle à ses propriétés, ou de quelqu'une de ces propriétés à une propriété identique de lous les poly­ gones), et ces conséquences expriment, sans cercle vicieux, des connai:-:­ -sances nouvelles.

On peut, il est vrai, éviter l'objection faite au syllo­ gi-sme en transformant la majeure de proposition gén éraie va lai.Jle pour tous les cas d'une espèce déterminée en une proposition formulant une loi ou un principe: je puis dire: "L'homme est mortel n, sans savoir explicitement que " S·ocratc est morle! "• et cette proposiLon, conclusion du syllogisme, m'apprend quelque chose de nouveau, sans qu'on puisse me reprocher de commettre une pétition de principe.

(Cf.

Traité, JI, p.

2il.) b) Il n'en reste pas moins que, même dans le ~yllogisme concluant du principe il la coméquence, celle-ci est implicitement contenue dans ks prémisses el que, par suite, ln nouveauté se réduit à l'explicitation d'une connaissance implicite.

Ln nouveauté de la conclusion du raisonnement mathématique e~t bien plus grande.

Pourquoi 9 Parce que les mathéma­ tiques ayant pour objet la qilantité, le raisonnement y p1·ocède de l'équi-. »