Pourquoi suffit-il d'un tableau noir et d'une craie pour établir des vérités mathématiques, alors que le physicien a besoin d'oberserver et d'exp?rimenter ? (ou de la nature des vérités mathématiques et physiques)

L'objet étudié par le mathématicien est un monde qu'il se donne et non le monde réel, et les principes qui guident sa recherche valent pour tout monde, et réel et possible. a) Par les définitions, le mathématicien se donne la réalité qui fera l'objet de son étude; par les postulats,. qu'on a justement appelés des définitions déguisées, il détermine les conditions les 'plus générales de l'objet qu'il s'est donné. b) Le levier de la démonstration qui permet de tirer des définitions qui expriment le caractère essentiel de l'objet à étudier d'autres propriétés est le principe d'identité qui s'impose à l'esprit à tel point qu'on ne peut essayer de le mettre en doute qu'en cessant de penser. B. De là il résulte qu'il est impossible et inutile d'observer et d'expérimenter pour vérifier les propositions mathématiques obtenues par déduction : a) impossible, car le monde dont s'occupe le mathématicien n'existe que dans la pensée et les observations faites dans le monde réel ne peuvent rien prouver pour ou contre le monde qu'on s'est donné; b) inutile, car les conclusions des démonstrations mathématiques ne laissent place à aucun doute. Ordinairement, il est vrai, le mathématicien a besoin d'un tableau et d'un morceau de craie. Mais les signes et les figures tracés à la craie sur le tableau noir ne sont pas l'objet qu'il étudie ou sur lequel il expérimente. Ce ne sont que des symboles qui l'aident à maintenir devant son esprit les données du problème. Son raisonnement est essentiellement mental.