L'INTUITION JOUE-T-ELLE UN RÔLE DANS LES MATHÉMATIQUES?
Publié le 19/03/2014
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L'INTUITION JOUE-T-ELLE UN RÔLE DANS LES MATHÉMATIQUES?
De la géométrie d'Euclide
aux géométries non euclidiennes
Les Anciens essayèrent, en vain, de déduire le cinquième postulat de la géométrie d'Euclide (par un point extérieur à une droite donnée, on peut mener une seule parallèle à cette droite) des autres postulats. Au début du xix' siècle, Lobatchevsky et Bolyai fondèrent une nouvelle géométrie en partant du postulat que par un point extérieur à une
«
1 Entre intuition et déduction
S'il est vrai qu'une fois les axiomes posés il est relative
ment aisé d'en déduire des théorèmes de manière logique et
mécanique,
qu'en est-il du choix des axiomes eux-mêmes?
Ce qui importe au mathématicien, lorsqu'il cherche à fixer
le point de départ axiomatique, c'est que celui-ci soit
fécond.
Par quelle opération logique pourrait-il savoir à
l'avance
qu'un système d'axiomes conduira à des décou
vertes utiles? Il convient, en fait, de distinguer
la recherche
du mathématicien qui est faite d'invention vivante, d'intui
tions, de tâtonnements, et l'exposition hypothético-déduc
tive qui est effectuée après coup par un effort d'épuration.
L'axiomatique
se réfère à des théories déjà acquises.
Il n'y a
donc pas d'al ternative absolue entre l'intuition et
la déduc
tion.
Comme toute connaissance,
les mathématiques sont le
produit d'intuitions et de concepts.
LES MATHÉMATIQUES ONT-ELLES
UN RAPPORT AVEC LE RÉEL?
Par un paradoxe surprenant, c'est parfois pour s'être éloi
gné
du réel que le mathématicien trouve des structures qui
correspondent mieux que toute autre à certains phéno
mènes.
Ainsi
la géométrie de Riemann , qui avait paru un
simple jeu de l'esprit, s'est révélée très féconde : Einstein, en
particulier, en a tiré parti dans
sa construction de la théorie
de
la relativité.
On pourrait voir, dans cette harmonie entre
le monde des mathématiques et celui de l'univers physique,
l'écho
d'un dieu mathématicien.
Mais une telle conception
ne résiste pas devant
la diversification des systèmes
mathématiques.
Il convient, en outre, de préciser que
les
mathématiques ne s'appliquent pas à toute réalité mais seu
lement aux structures simples et quantifiables étudiées par
le physicien.
Les mathématiques expriment d'autant plus
mal
le réel que celui-ci est complexe, singulier, qualitatif.
Peut-on quantifier
les sentiments, les passions? Enfin, si les
mathématiques s'appliquent aussi bien à
la réalité que le
physicien étudie, c'est sans doute parce que celle-ci est
informée par
la pensée théorique .
Les instruments d'obser
vation sont des incarnations de théories dans lesquelles
les
mathématiques sont déjà présentes •
71.
»
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