L'intuition et le raisonnement formel en mathématique ?

« • Le rôle joué par les mathématiques. Dans l'histoire de la pensée, les mathématiques semblent occuper une position privilégiée.

La plupart des sciences,en effet, se sont constituées comme telles en se «mathématisant», c'est-à-dire en pensant leur objet selon lesprocédés et les techniques d'analyse ou de raisonnement propres aux mathématiques.

S'affranchissant del'empirisme et de l'approximation, elles ont emprunté aux mathématiques leur caractère d'emblée logique et formel.Galilée disait par exemple: «Le grand livre de la nature est écrit en caractères mathématiques.» • Le statut des mathématiques. Le rôle évoqué signifierait-il que les mathématiques elles-mêmes sont affranchies de tout contenu intuitif, de toutempirisme ? La réponse n'est pas simple, comme le montre l'histoire de la pensée mathématique.

L'idéal d'uneréduction totale de la mathématique à la logique, esquissé par Boole au milieu du XIXe siècle, implique-t-il uneévacuation définitive de tout contenu intuitif ? L'intuition (terme dont le sens varie beaucoup de Descartes à Kant)n'a-t-elle plus aucun rôle à jouer en mathématique ? ANALYSES SUGGÉRÉES. • Les termes du sujet. — Intuition : mode de connaissance caractérisé par son immé-diateté discursif).

D'où deux sens possibles: a) l'intuition sensible.

Ce par quoi un objet m'est donné, dans des cadres définis qui structurent la perception.

Cf.Kant, Critique de la raison pure (I, § I) : «La capacité de recevoir des représentations grâce à la manière dont noussommes affectés par les objets se nomme sensibilité.

Ainsi, c'est au moyen de la sensibilité que les objets me sontdonnés; seule elle nous fournit des intuitions ; mais c'est l'entendement qui pense ces objets et c'est de lui quenaissent les concepts.

» [Kant distingue deux formes pures de l'intuition: l'espace et le temps]; b) l'intuition rationnelle selon Descartes.

Réhabilitée, mais soigneusement distinguée de la saisie empirique, l'intuitionintellectuelle est admise par Descartes comme saisie directe de l'évidence, le doute ayant déblayé les donnéestrompeuses ou les ayant neutralisées en maintenant une distance consciente entre l'intelligible et le sensible (cf.plus haut le sujet 57 concernant l'évidence).

Pour Descartes, les vérités rationnelles des mathématiques peuventdonc faire l'objet d'une intuition.

Mais il faut alors entendre par intuition la vision de l'évidence rationnelle (cf.

Règlespour la direction de l'esprit, III).

Sur ce type d'intuition vient s'articuler la déduction (même référence). — Raisonnement formel: activité réflexive portant sur la seule forme des raisonnements, c'est-à-dire leur structurelogique, et ce indépendamment des contenus intuitifs qu'il met en relation. [Le point de vue logique tend à déconnecter totalement la structure formelle d'un raisonnement de tout contenuintuitif.

Cf.

sur ce point les exemples de raisonnements donnés par Lewis Caroll dans Logique sans peine] — Rôles.

Dans le contexte du sujet, on peut envisager deux rôles éventuels : Un rôle constitutif de l'intuition et du raisonnement formel dans l'activité mentale requise par la mathématique. Un rôle pédagogique éventuel, notamment de l'intuition, lorsqu'il s'agit de «soutenir» le raisonnement abstrait parun sup-port intuitif (cf.

la visualisation des structures grâce au croquis géométrique qui favorise les raisonnements). Mais il convient de se demander aussi dans quelle mesure l'intuition peut constituer un obstacle dans lamathématique (cf.

les remarques préliminaires). • L'enjeu de la question. — Globalement, c'est le problème de la nature spécifique de la mathématique comme science qui est posé.

L'histoiredes mathématiques, son évolution toute récente justifient une telle question, dans la mesure où l'évacuation totalede l'intuition remettrait à l'ordre du jour la question déjà envisagée par Boole: celle du rapport nouveau à établirentre logique et mathématique. — Dans toute science à visée explicative, il y a une matière à connaître et une pensée qui l'informe.

Le problème. »