L'exigence logique et sa fécondité méthodologique

« sée au réel.

Mais la mathématique n'a pas d'objet particulier à connaître.

Elle est un savoir portant plutôt sur la maîtrise d'une activité mentale se déployant dans des opérations que sur l'explication des processus réels internes aux phé­ nomènes.

En ce sens, la mathématique crée ses propres objets de réflexion, notamment en forgeant les abstractions qui lui sont nécessaires pour le calcul opératoire.

Cf., /'extension de la notion de nombre (passage des entiers natu­ rels aux entités mathématiques complexes par une abstraction croissante).

- La question est de savoir si la dynamique de l'abstraction croissante des mathématiques peut les conduire à une logique pure, démunie de toute intui­ tion.

A ce niveau, les difficultés des mathématiques, dans un tel mouvement, ne seront pas différentes de celles qu'a rencontrées la logique lorsqu'elle a cher­ ché à se justifier par un système de raisons exclusivement logiques.

(Cf.

le problème des paradoxes qui marquent les limites d'une telle tentative.) Tout système hypothético-déductif doit admettre des éléments de base qu'il ne démontre pas.

La prise de conscience de cette nécessité -qui marque d'ailleurs précisément les limites et les conditions de la logique - a conduit à une redéfi­ nition du statut des mathématiques, pensées comme des axiomatiques.

La géométrie euclidienne, par exemple, a été relativisée dès lors qu'après l'échec des tentatives visant à en démontrer tous les postulats, les mathématiciens ont choisi d'autres points de départ, construisant ainsi des géométries tout aussi rigoureuses et cohérentes, mais qui recevaient explicitement le statut d' axio­ matiques.

La différence est que la géométrie euclidienne, solidaire d'un support intuitif familier à l'homme (perception de l'espace), avait pu faire illusion long­ temps (vingt siècles) sur son caractère absolu et indépassable.

SUJET • Calculer, est-ce penser ? [SÉRIES c.D.E.

Bordeaux, 1991} 163. »