La démonstration mathématique est-elle le modèle de la connaissance scientifique ?

Dans la conception ancienne de l'axiomatique, on résolvait cette question en faisant appel à l'évidence intuitive ; il suffisait, pensait-on, de mettre en jeu des règles suffisamment simples pour qu'elles apparussent immédiatement comme légitimes (c'est-à-dire comme capables d'assurer la propagation de la vérité des prémisses aux conséquences) et des propositions suffisamment fondamentales pour qu'elles apparussent comme évidentes par elles-mêmes et, dès lors, comme acceptables sans démonstration. Les développements modernes (en particulier, l'apparition des géométries non euclidiennes et, plus tard, des paradoxes) ont conduit à une mise en doute systématique des vertus de l'intuition et à une radicalisation des procédures de formalisation. Ainsi s'est fait jour une nouvelle conception de l'axiomatique, selon laquelle le critère ultime de validité est la non-contradiction. Il s'agit là d'une propriété purement formelle.  En fait, il n'a été possible, jusqu'ici, d'obtenir des démonstrations de non-contradiction que pour une catégorie relativement restreinte de système. En l'absence d'une démonstration de non-contradiction pour un système donné, on se contentera de constater que le système en question, dans la mesure où il est connu, ne contient pas, en fait, de contradiction. Et, si des contradictions se présentent, on prend des mesures de caractère local pour les éliminer. Mais cette situation appelle de nouvelles élucidations. D'une part, l'idée même de démonstration de non-contradiction met en ?uvre la notion de dérivation, qui n'est pas encore suffisamment clarifiée. Pour mettre en lumière ce qui est impliqué dans cette notion, il faut la formaliser, c'est-à-dire élaborer, sous les espèces d'un système formel approprié, une théorie des situations inférentielles (relations entre propositions résultant précisément de leurs modes d'intervention respectifs dans une dérivation).