La démonstration mathématique comme idéal de rationalité

« SUPPLEMENT: LA DEMONSTRATION EN MATHEMATIQUES Une démonstration, en général, est un raisonnement contraignant pour l'esprit.

C'est-à-dire que si on accepte lesprémisses, on est obligé d'accepter la conséquence. Mais les mathématiques font une utilisation spécifique de la démonstration par rapport à la logique, qui estréellement la science de la démonstration, un "art de raisonner".

Une démonstration en géométrie ne consiste passimplement à enchaîner des propositions.

C'est en même temps développer les caractéristiques de l'objet dont onparle, c'est découvrir toutes ses propriétés, enrichir le concept de l'objet en question. Autre spécificité des démonstrations mathématiques: il est possible de les enchaîner toutes en un seul système.C'est pour cela que Descartes, par exemple y a vu un modèle de science: alors que toutes les autres connaissanceshumaines sont dans un état de désordre consternant, les mathématiques proposent des connaissances strictementenchaînées les unes aux autres.

On peut partir de propositions simples, en déduire certaines conséquences, quipermettent de passer à d'autres connaissances.

Tout le problème de la méthode sera de trouver le bon point dedépart à partir duquel commencer (voir le Discours de la Méthode ).

La connaissance a un ordre: un commencement et une fin. 1) l'enchaînement des démonstrations en une axiomatique Euclide, le premier a tenté une telle présentation systématique de toutes les connaissances mathématiques de sontemps.

Il les a rassemblées selon un certain ordre: du plus simple au plus complexe.

Principe de base: avantd'admettre un théorème quelconque, il faut avoir démontré tous les théorèmes auquel il a lui-même recours... Ce qui est remarquable, c'est que Euclide a ainsi pu démontrer les unes par les autres toutes les propositions de lagéométrie, sauf certaines propositions de base. Parce que ce sont des propositions premières, à partir desquelles on va pouvoir démontrer les autres, elles sontelles-mêmes indémontrables.

Il n'y a pas de propositions plus simples à partir desquelles on pourrait les démontrer. Ces "propositions premières" qu'on appelle également "indémontrables" peuvent de trois types: définitions, axiomes,ou postulats. Isoler ces propositions premières à partir desquelles tout le reste va s'enchaîner, c'est ce qu'on appelle"axiomatiser". Et ces premières propositions contiennent déjà implicitement toute la suite des démonstrations. 2) les définitions Les définitions sont indémontrables parce que ce sont des hypothèses de départ. Exemples de définition: - soit ce qui n'a ni longueur ni largeur et que j'appelle "point" - soit ce qui a longueur mais n'a pas largeur et que j'appelle "droite" - soit ce qui a longueur et largeur et que j'appelle "plan" On voit donc que les définitions en géométrie se passent toujours en deux temps: on pose un "être" (ce qui n'a nilongueur ni largeur par exemple), puis on lui attribue un nom. ATTENTION: les définitions géométriques n'ont rien à voir avec les définitions qu'on peut trouver dans undictionnaire. Dans un dictionnaire, les définitions renvoient les unes aux autres.

Pour comprendre une définition, il faut aller voirce que veulent dire les termes qui entrent dans cette définition, dans une sorte de renvoi à l'infini. Par ailleurs, les définitions du dictionnaire sont des définitions purement "nominales": elles donnent le sens d'un mot,en décrivant ce à quoi renvoie ce mot.

Les définitions géométriques, au contraire, sont dites "réelles": elles donnentl'essence de la chose, son caractère déterminant.

On dit également qu'elles sont "génétiques": elles engendrent laréalité qu'elles définissent.

Par exemple, la définition "longueur sans largeur" crée un certain être mathématique qui acertaines propriétés, ce n'est pas le même être que celui qui est défini comme "le plus court chemin entre deuxpoints", qui aura d'autres caractéristiques! Alors que dans le dictionnaire, on peut donner différentes définitions,aussi valables les unes que les autres, de la même réalité , en géométrie, ce ne serait plus la définition de la mêmechose! Pourquoi cela? Parce que la définition du dictionnaire est là pour rendre compte d'une réalité préexistante, elle ne peut au fond quedécrire ce qui est déjà là, elle doit "coller" à la réalité en question.

La définition géométrique, au contraire, n'a pas àse calquer sur une réalité préalable: elle engendre cette réalité, c'est elle qui la crée!. »