Expliquez, au moyen d'un exemple simple, ce que vous entendez par la déduction en géométrie et montrez comment, tout en étant rigoureuse, elle peut être créatrice de vérités nouvelles

« 218 LOGIQCE II.

POINCARÉ, arguant de ce que l'on étend à tout triangle ce que l'examen .

a révélé du triangle ABC, prétend voir dans ce processus un raisonnement inductif, basé sur l'ordre constant des lois de l'esprit et les transposant du particulier au général.

Mais: 1° Toute démonstration géométrique n'envisage les figures sur lesquelles on raisonne que comme des symboles représentant un objet général.

Le triangle ABC u 'est pas un trl:augle particulier, mais le triangle idéalisé, doue déjà généralisé; ne demande-t-on pas d'ailleurs que ce soit un triangle quelconque, un cas général.

Sans doute, la démonstration mathémàtique ne va pas comme le syl­ logisme formel de ridée générale (homme) à la notion partciculière (SocRATE); mais elle ne va pas davantage comme l'induction du particulier au général.

Son objet est strictement général et elle se déroule tout entière dans l'universel, eu passant des principes à la conséquence.

2° Et ce passage se fait d'ailleurs, comme en toute déduction, d'une façon rigoureusement logique eu s'appuyant sur le principe d'identité.

Il y a accord strict de la pensée avec elle-même.

Partant de principes : défi­ nitions et postulats (ici : définitions et propriétés des droites, parallèles, sécantes, angles et triangles) - on énonce, en s'appuyant sur des axiomes (ici : deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles), une suite dïdentités qui s'imposent à l'esprit, _en raison même de sa loi essentielle.

La différence à établir avec la déduction ordinaire, c'est qu'il s'agit ici de la quantité et que l'identité qualitative est devenue une égalité.

Syllo­ gisllle de l'universel, le raisonnement mathématique est un syllogisme quantitatif : la rigueur n'a rien à y perdre, l'identité quantitative se pré­ sentant de façon plus frappante en sa précision.

3° D'ailleurs, la nécessité de la démonstration géométrique, comme de toute déduction mathématique, l'emporte aussi d'une autre façon sur celle des autres déductions.

Dans celles-ci les points de départ stmt quelconques Ptt il leur arrive d'être erronés : seule, est garantie la nécessité du lieu · entre prémisses et conclusion.

Ici, il n'eu va plus de même : le point de départ étant une définition idéale qui construit son objet, il y a correspondance parfaite entre elle et cet objet : les notions mathématiques apparaissent comme nécessaires en même temps qu'universelles; et cette nécessité de la matière s'ajoute à celle de la forme pour mériter à la démonstration le nom de syllogisme du nécessaire.

Comment, dès lors, si elle se borne à énoncer déductivement et rigoureu­ sement des identités peut-elle fiüre progresser la pensée? II.

-- DÉoucTIO:'I' ~IATHÉ~IATIQVE ET VERn: CRÉATRICE.

C ·est, en effet, un caractère essentiel de la' démonstratio;l, caractère qui, d'ailleurs, poussa II.

PmxcAHÉ à 1 'assimiler à tort à une induction.

Dans le syllogisme ordinaire, la conclusion : Pierre est mortel, se trouve déjà virtuellement contenue dans la majeure : Tous les hommes sont mortels.

Le raisonnement et l'emploi d ·un moyen terme bien choisi n'ont pas d'autre but que de faire apparaître la conclusion, montrer le contenu : tout se borne à une " théorie de 1 'implication n.. »