Est-il vrai que les mathématiques soient moins une science à part que l'instrument de toutes les sciences ?

« LES ~IATHfaIATIQl.ES ET LES .H'TRES SCIENCES 259 1.

- LA MATHÉMATIQUE EST mŒ SCIEl\CE A PART.

La mathématique pure - qu'il ne faut pas confondre aYec ses appli­ cations - est vraiment une science qui a son objet, sa méthode propre et son ù11t bien défini.

A.

Son objet.

- Elle lraile, ù un certain niwau d'.abstraction, de l'ordre, rle /a grandeu,.

(quantité) et de la mesure continue ou discontinue.

Ses ètres, suggérés par l'observation sensible, ne sont pas seulement abstraits, comme certains concepts, mais construits, disons mieux créés sur un mode idéal, avec des conditions d'existence propre qui les rendent souvent irréalisables en pratique, telles que les surfaces et les lignes sans épais­ seur, les points matériels.

Les êtres mathématiques, leurs cadres et toutes leurs relations forment un univers à part dans lequel les lois sont vraies nécessairement (Yérité idéale sans autres conditions que celles qui les ont fa'.

i naitre.

B.

Sa méthode propre.

- Cette méthode, qui lui appartient en propre tt la faisait regarder par les anciens comme la science par excellence, est la méthode " déductive »; c ·est une mite de raisonnements a priori qui ne rait à aucun moment appel il !"expérience.

Les «intuitions"· s'il y en a, n'atteignent que ses objets ou relations de l'univers idéal; on peut parler d'intuition mathématique, abstraite et idéale.

Certains mathéma­ ticiens qui Yisent il la rigueur cherchent 11 les déduire en exprimant les "axiomes " qn ·elles inlrodui-:ent rlans les raisonnements r'R.

RussELL, HILBERT).

Sans doute.

les sciences po: 0itives font, elles amsi, des déductions (syllo·· gis tiques ou mathématiques:·,: mais leur méthode caractéristique est l 'in­ duction dont le point de départ et le point final est le contact avec l'expé­ rience concrète.

G.

Son but propre.

- La malhéma tique ne vise qu ·ù la création de son trnivers idéal, et it la connaissance des êtres et des relations de cet uni­ Yers.

Cette science idéale se suffit il elle-même, réserve faite de son origine, dans son déYeloppement indéfini.

C ·est cet aspect qui a pu faire croire i1 des rationalistes qu'elle était une pHre création de l'esprit (KA:>T).

En rrsnmé, la mathématique pure est une science idéale et abst1·aite rnlable inconditionnellement dans son tmit'ers.

On ne peut affirmer a priori riu 'elle soit une science dn " rt·el », puisque les mots Yérité, nécessité, universalité, n ·ont pour elle qu"un sens idéal.

Ils pourraient fort bien n "en avoir point de réel: néanmoins.

nous allons montrer qu "elle comtitue une science des possibles.

II.

L ~IATIJÉ~!ATl(.ll:E Al' SERYICE DES .\l:TRES SCIE:'ICE'.

Pour l'esprit, une loi.

une théorie expérimentale, 11e peut être vraie qut si elle est logiquement possible.

La mathématique, comme science abstraite et comme logique.

va se prêter it l'édification de lois et de théories pos­ sibles, c 'est-it-dire il de multiples hypothèses de toute envergure.

Et cela d ·autant plus que, dans toute science qui ne se borne pas it cataloguer des observations, l'esprit reconstruit le monde réel (point de vue idéaliste) 11 l'exemple des uniYers possibles et idéaux du mathématicien.

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