Est-il vrai que les mathématiques soient moins une science à part que l'instrument de toutes les sciences ?

« II.

— LA MATHÉMATIQUE AU SERVICE DES AUTRES SCIENCES. Pour l'esprit, une loi, une théorie expérimentale, ne peut être vraie que si elle est logiquement possible.

Lamathématique, comme science abstraite et comme logique, va se prêter à l'édification de lois et de théoriespossibles, c'est-à-dire à de multiples hypothèses de toute envergure.

Et cela d'autant plus que, dans toute sciencequi ne se borne pas à cataloguer des observations, l'esprit reconstruit le monde réel (point de vue idéaliste) àl'exemple des univers possibles et idéaux du mathématicien.

Plus les sciences comporteront un haut degréd'abstraction et d'organisation, plus les mathématiques pourront leur venir en aide.Ces applications tant aux sciences qu'aux techniques sont la récompense de son désintéressement absolu. A.

L'instrument logique. — La possibilité d'une théorie est affaire de logique.

La mathématique met sa logique générale de l'ordre, de la grandeur et de la mesure à la disposition des sciences.

Son rôle sera d'éprouver, pardéduction, la consistance interne d'une hypothèse, sa non-contradiction, et sa fécondité dans le choeur des autresthéories, d'en tirer des conséquences intéressantes et vérifiables.

C'est la partie rationnelle ou déductive del'induction, indispensable pour reconstruire le monde donné.

Sous cet angle, on peut dire que la mathématique estplus une logique qu'une science (à plus forte raison qu'une science positive).

Certains philosophes mathématiciensen ont fait exclusivement une logique formelle, suivant A.

COMTE qui déjà voyait en la mathématique « abstraite » «une extension admirable de la logique naturelle », et dont la relation essentielle serait l'implication (B.

RUSSELL).En particulier, elle fournit aux sciences des algorithmes (procédés de calcul) dans lesquels COMTE voyait surtoutl'instrument : calcul arithmétique, algébrique, vectoriel, calcul infinitésimal, etc.Comme instrument logique, il faut avouer que son extension s'étend très loin, bien au-delà de ce qui a étécommunément admis.

Tout ce qui peut être assimilé à un ordre, à une grandeur ou à une mesure dépend de lalogique mathématique. B.

La science abstraite des possibles. - Par son caractère de science abstraite, la mathématique est susceptible d'applications plus ou moins immédiates, si les phénomènes se comportent sensiblement comme dans ses théories ouont une structure très semblable.a) C'est le cas de l'astronomie de position, dans laquelle les astres se comportent comme des « points matériels » etles attractions suivant la loi simple de NEWTON.

C'est aussi celui de nombreuses lois et théories physico-chimiques,dans les limites d'une approximation acceptable, par exemple : toute l'optique géométrique (ainsi la théorie desinstruments d'optique, caustiques et focales, en optique physique, la théorie des interférences et de la diffraction);en chimie, toutes les réactions; en biologie, la biométrie, les lois de MENDEL...La théorie des mesures et des statistiques trouve un débouché immédiat dans les sciences de la mesure et dans lessciences morales.b) Elle fournit à toutes : des êtres, figures, fonctions, et des relations, équations ordinaires, différentielles, etc., auxphénomènes qui s'en accommodent.

Noter par exemple le rôle important des équations différentielles du secondordre dans les phénomènes vibratoires.c) Science des possibles, elle construit des théories pour être confrontées au monde donné.

La mécanique classique(NEwToN), les mécaniques relativistes (LoRENTZ, EINSTEIN) en astronomie et en physique, la mécanique quantique(PLANCK, SOMMERFELD) et ondulatoire (DE BROGLIE, SCHRODINGER, DIRAC) au niveau atomique et nucléaire, enphysique, les théories électromagnétiques du rayonnement (MAXWELL, LORENTZ), sont des exemples deconstructions mathématiques proposées au réel, pour prévoir ou expliquer ses phénomènes.

C'est de cettepossibilité d'application qu'est née depuis DESCARTES la Physique mathématique.Ces succès ne doivent point faire oublier le risque de la confrontation du construit avec le monde donné; lesthéories peuvent se révéler fausses ou insuffisantes.

Mais la chute de la théorie positive ne trouble point la sérénitéde la théorie mathématique : ce n'est qu'une possibilité logique qui ne trouve point sa réalisation.Il n'y a aucune raison d'ailleurs, vue l'histoire des théories, pour que toutes les créations de l'esprit rencontrent leurréalisation, soit dans des choses ou dans des relations, les lois naturelles (empirisme ou réalisme), soit comme loisnécessaires des phénomènes (rationalisme).

Une théorie que l'on cherche à appliquer au monde de l'expériencechange ipso facto de plan; elle glisse sur le plan positif et tombe sous le coup de l'expérience.

Le mathématicien estcertain que dans tout triangle euclidien la somme des angles est nécessairement égale à deux droits, mais il ignoreabsolument s'il existe des triangles euclidiens dans notre univers sensible La question de savoir s'il en existe, avecune certaine approximation, est l'affaire du « savant ». CONCLUSION. — Les mathématiques constituent bien une science à part, abstraite et idéale, la plus désintéressée des sciences.Elle n'est pas une science positive (empirisme) qui tirerait sa vérité de l'expérience; elle n'est point non plus unescience, à la manière des anciens et de certains modernes, qui vaudrait nécessairement et universellement, dans lemonde donné, sans aucune condition (réalisme antique ou rationalisme moderne).

Néanmoins, elle est capable denombreuses applications plus ou moins immédiates, tant comme logique que comme science abstraite des possibles,dans toutes les questions de son ressort.Les précisions apportées dans sa conception marquent les limites de son influence.

Elle ne vaut pas notamment pourles objets trop concrets, ou incomparables avec d'autres suivant ses normes, ou trop complexes pour qu'il soitpossible de l'utiliser, sauf pour en obtenir une connaissance d'ensemble ou statistique.. »