opérateurs

« c.

Rotationnel: * cartésiennes:    rot ® r  a = ¶ a z ¶ y - ¶ a y ¶z       r  e x+ ¶ a x ¶z - ¶ a z ¶ x       r  e y+ ¶ a y ¶ x - ¶ a x ¶ y       r  e z * cylindriques:    rot ® r a = 1 r ¶ a z ¶ q - ¶ a q ¶z       r e r+ ¶ a r ¶z - ¶ a z ¶r       r e q+ 1 r ¶ ( r a q) ¶ r- ¶ a r ¶ q       r e z * sphériques:    rot ® r a = 1 r sin q ¶( a jsin q) ¶ q - ¶ a q ¶ j         r e r+ 1 r 1 sin q ¶a r ¶ j - ¶ ( r a j) ¶ r         r e q+ 1 r ¶ ( r a q) ¶ r- ¶ a r ¶ q       r e j d.

Laplacien: * cartésiennes: D U = ¶ 2U ¶ x 2         + ¶ 2U ¶ y 2         + ¶ 2U ¶ z 2         * cylindriques: D U = ¶ 2U ¶ r 2         + 1 r ¶ U ¶ r      + 1 r 2 ¶2U ¶ q 2         + ¶ 2U ¶ z 2         * sphériques: D U = ¶ 2U ¶ r 2         + 2 r ¶ U ¶ r      + 1 r 2sin 2q ¶2U ¶ j 2         + 1 r 2sin q ¶ ¶ q sin q¶ U ¶ q            4.

Action des opérateurs sur le trièdre de base: a.

coordonnées cylindriques:    rot ® r  e r=r 0 ;    rot ® r e q= r e z r ;    rot® r e z=r 0 pour le rotationnel    div r  e r= 1 r ;    div r e q= 0 ;    div r e z=0 pour la divergence b.

coordonnées sphériques:    rot ® r  e r=r 0 ;    rot ® r  e q= r e j r ;    rot ® r e j= cos q r sin q r e r- r e q r pour le rotationnel    div r e r= 2 r;    div r e q= 1 r tan q ;    div r e j=0 pour la divergence. »