Université Paris 5 Faculté de Médecine Outils de Mathématiques Année universitaire 2004-2005 Sommaire 1 Dérivées et différentielles------------------------------------------------------ 4 1.

Université Paris 5 Faculté de Médecine Outils de Mathématiques Année universitaire 2004-2005 Sommaire 1 Dérivées et différentielles------------------------------------------------------ 4 1.1 Dérivée------------------------------------------------------------------- 4 1.1.1 Définition------------------------------------------------------- 4 1.1.2 Interprétation géométrique----------------------------------- 4 1.1.3 Règles de dérivation-------------------------------------------- 4 1.1.4 Dérivées usuelles----------------------------------------------- 5 1.2 Différentielle d'une fonction f(x) d'une variable réelle x------------ 5 1.2.1 Définition------------------------------------------------------- 5 1.2.2 Propriétés des différentielles-------------------------------- 6 1.3 Différentielle d'une fonction f(x, y) de deux variables réelles x et y---------------------------------------------------------------- 7 1.3.1 Dérivées partielles--------------------------------------------- 7 1.3.2 Différentielles partielles-------------------------------------- 8 1.4 Différentielle totale---------------------------------------------------- 8 1.5 Forme Différentielle - Différentielle totale exacte------------------ 9 2 Fonctions exponentielle et logarithme------------------------------------------ 10 2.1 Définitions--------------------------------------------------------------- 10 2.2 Propriétés importantes des logarithmes------------------------------ 10 3 Fonctions trigonométriques----------------------------------------------------- 11 4 Développements Limités--------------------------------------------------------- 12 5 Calcul Vectoriel------------------------------------------------------------------ 13 5.1 Somme de 2 vecteurs--------------------------------------------------- 13 5.2 Propriétés de l'addition vectorielle------------------------------------ 13 5.3 Projection d'un vecteur------------------------------------------------- 13 5.3.1 Base orthonormée----------------------------------------------13 5.3.2 Propriétés des composantes---------------------------------- 14 5.4 Produit scalaire de 2 vecteurs-----------------------------------------14 5.4.1 Définition------------------------------------------------------ 14 5.4.2 Interprétation géométrique---------------------------------- 14 5.4.3 Propriétés------------------------------------------------------ 14 5.4.4 Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé- 15 2 5.5 Produit vectoriel de 2 vecteurs---------------------------------------- 15 5.5.1 Définition------------------------------------------------------- 15 5.5.2 Interprétation géométrique---------------------------------- 15 5.5.3 Propriétés------------------------------------------------------ 16 5.5.4 Expression du produit vectoriel dans un repère orthonormé-------------------------------- 16 5.6 Relation de passage : coordonnées polaires - coordonnées cartésiennes----------------------------------------------------------------- 16 5.7 Changement de repère--------------------------------------------------17 5.8 Vecteur gradient--------------------------------------------------------17 6 Intégrales et primitives--------------------------------------------------------- 18 6.1 Intégrales--------------------------------------------------------------- 18 6.1.1 Définition------------------------------------------------------- 18 6.1.2 Interprétation géométrique----------------------------------- 18 6.1.3 Propriétés des intégrales-------------------------------------- 19 6.1.4 Valeur moyenne de f(x)---------------------------------------- 19 6.2 Primitives----------------------------------------------------------------20 6.2.1 Définition------------------------------------------------------- 20 6.2.2 Propriétés des primitives------------------------------------- 21 6.2.3 Primitives classiques------------------------------------------- 21 6.2.4 Méthodes de calcul des primitives----------------------------21 6.3 Intégrale curviligne----------------------------------------------------- 23 6.3.1 fonction scalaire----------------------------------------------- 23 6.3.2 Circulation d'un vecteur--------------------------------------- 24 7 Equations différentielles-------------------------------------------------------- 26 7.1 Définition---------------------------------------------------------------- 26 7.2 Résolution des équations différentielles du premier ordre, linéaires, à coefficients constants----------------------------------------- 27 7.2.1 Définition------------------------------------------------------- 27 7.2.2 Résolution------------------------------------------------------ 27 7.2.3 Exemple-------------------------------------------------------- 28 7.3 Résolution des équations différentielles du second ordre, linéaires, à coefficients constants----------------------------------------- 28 7.3.1 Définition------------------------------------------------------- 28 7.3.2 Résolution------------------------------------------------------ 29 7.3.3 Exemple-------------------------------------------------------- 33 3 1 Dérivées et différentielles 1.1 Dérivée 1.1.1 Définition y = f ( x ) : fonction définie et continue dans un certain intervalle. L'accroissement ?x , algébrique, de la variable x induit un accroissement algébrique ?y de la fonction : y + ?y = f ( x + ?x ) . Si elle existe, la dérivée f ' ( x ) de la fonction f ( x ) au point x est la limite du rapport ?y / ?x lorsque ?x tend vers zéro. f ( x + ?x ) - f ( x ) ?y = lim ?x ?x -> 0 ?x ?x -> 0 f ' ( x ) = f ' x = lim 1.1.2 Interprétation géométrique La dérivée est la valeur tg ? de l'angle ? que fait la tangente au point M avec l'axe des x . Autrement dit, la dérivée mesure le coefficient directeur de la tangente au point M. NP ?y = lim = tg ? ?x -> 0 ?x ?x -> 0 MP f ' ( x ) = f ' x = lim y N ?y ? M O P ?x x 1.1.3 Règles de dérivation o Somme (u + v)' x = u ' x + v' x o Pr oduit (u v)' x = u ' x v + u v' x ' u ' v - u v' ?u? o Quotient ??=x 2 x ?v?x v o Fonction de fonction y = f(u) et u = g(x) y'x = f ' u u ' x = f ' u g ' x 4 1.1.4 Dérivées usuelles y = f(x) a constante ax a est une constante y' = f '(x) = f 'x 0 a xm ln x ln x m x m -1 1 x ax a x ln a ex cos x sin x tan x ex - sin x cos x 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x y = f(u) et u = u(x) y' um ln u ln u m u m -1 u ' x au a u ln a u ' x eu cos u sin u tan u e u u'x - sin u u ' x cos u u ' x u'x u [1 + tan u ]u' 2 x= u'x cos 2 u 1.2 Différentielle d'une fonction f(x) d'une variable réelle x 1.2.1 Définition Si f ' ( x ) existe alors ?y = f ' ( x ) + ?(?x ) , où ?(?x ) est une fonction de ?x tendant vers zéro ?x avec ?x . Soit encore : ?y = f ' ( x ) ?x + ?(?x ) ?x . Si ?x tend vers 0, on peut négliger le terme ?(?x ) ?x qui est un infiniment petit d'ordre supérieur. On écrira au 1er ordre : ?y = f ' ( x ) ?x + ... 5 On appelle différentielle de la variable x, et différentielle de la fonction y, les quantités dx et dy reliées par la relation : dy = f ' ( x ) dx (1) Remarque : on prend pour valeur de dx, l'accroissement ?x, soit dx = ?x. Comparaison entre accroissement et différentielle : l'accroissement est ?y = PN , la différentielle est dy = f ' ( x ) ?x = PQ . Leur différence est d'autant plus petite que ?x est petit. corde y N ?y Q O tangente dy P M ?x = dx x La relation (1) se lit : dy = f ' (x) dx relation qui est un véritable quotient. L'intérêt du calcul différentiel en physique provient du fait que l'on a l'habitude de représenter un petit accroissement d'une grandeur par une différentielle. 1.2.2 Propriétés des différentielles o o o o o f = f1 + f2 => df = df1 + df2 f = ? f1 (? est une constante) => df = ? df1 fonction de fonction : f[u(x)] du = u'(x) dx = u'x dx et df = f '[u(x)] du = f '(u) u'(x) dx = f 'u u'x dx f = f1 f2 => df = f2 df1 + f1 df2 f 2 df1 - f1 df 2 f f = 1 => df = f2 f22 6 Exemples y=x dy = dx y = (ax + b )m dy = m a (ax + b )m -1 dx y = cos(ax + b) dy = -a sin (ax + b) dx 1.3 Différentielle d'une fonction f(x, y) de deux variables réelles x et y 1.3.1 Dérivées partielles Soient une fonction de deux variables z = f ( x, y) , M ( x, y) et N( x + ?x, y + ?y) deux points du plan (voir figure). Pour aller de M à N on peut suivre plusieurs chemins différents. Par exemple, on peut accroître x , y restant constant, on arrive en P, puis accroître y , x + ?x restant constant et on arrive en N. Dans ce cas : ?z = f ( x + ?x, y + ?y) - f ( x + ?x, y) + f ( x + ?x, y) - f ( x, y) . y y + ?y y O Q N P M x + ?x x x On appelle dérivée partielle de z par rapport à x en M ( x , y) le rapport entre l'accroissement de la fonction z à y constant et l'accroissement de la variable ?x quand ce dernier tend vers 0. ? ?z ? On la note ? ? = ? x z = z' x pour bien spécifier que y reste constant et que la dérivation