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TESTS D'HYPOTH ESES — COMPARAISONS DE FREQUENCES

Publié le 19/01/2013

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I. COMPARAISON D E DEUX FREQUENCES RELATIVES (OU PROPORTIONS) .............................. 2

1). Intervalle de confiance d'une fréquence relative théorique.............................. 2

2). Intervalle d'estimation de p ................................................................ 3

3). Comparaison de deux proportions observées .............................................. 4

II. COMPARAISON SIMULTANEE D E PLUSIEURS PROPORTIONS : CHI-CA RRE OU ZIa .................. 5

1) Loi multinomiale et définition du Chi-carré ................................................ 5

a).  Le xi2 à un degré de liberté : le cas particulier de la Loi Binom iale.........................................6

b).  Le xi2 à (k-1) degré de liberté : généralisation à la Loi m ultinom iale......................................7

2). Test du Chi-deux : Comparaison à une loi théorique ..................................... 7

3). Test du Chi-carré : Comparaison de proportions observées dans des échantillons indépendants : Test d'homogénéité. .......................................................... 11

2

Nous envisageons maintenant un autre type de comparaisons. En effet, il est souvent utile de comparer des fréquences ou proportions. Plusieurs objectifs sont envisagés :

- comparer 2 fréquences pour savoir si elles sont significativement différentes

- comparer des distributions de fréquences pour savoir si elles sont différentes

Dans les deux cas, on pourra également comparer un échantillon (observation) à une population (théorique).

I. COMPARAISON DE DEUX FREQUENCES RELATIVES (OU PROPORTIONS)

Ces tests permettent d'effectuer des comparaisons de caractères qualitatifs c'est-à-dire des variables aléatoires discrètes qualitatives. Ils sont très utilisés en médecine et en génétique.

Comme on travaille sur des fréquences relatives, on travaille sur des valeurs comprises entre 0 et 1 ou 0 et 100% .

On ne traitera ici que les cas où N  30 et 0,1  p  0,9. Dans ce cas, on utilise la loi Normale comme approximation de la loi Binomiale. Pour les autres cas, il faudrait utiliser des tests non paramétriques.

C'est donc le cas d'une loi Binomiale où on travaille sur deux facteurs exclusifs et N 30 et 0,1 p 0,9. On peut alors démontrer que la loi Binomiale ( N,p) suit approximativement une loi Normale de moyenne ( Np) et de variance (pq/ N). C'est à partir de ces paramètres que l'on définit le test de comparaison de deux fréquences ou proportions.

1). Intervalle de confiance d'une fréquence relative théorique

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