Théorème de Tietze-Urysohn

Sommaire I INTRODUCTION 4 II RAPPELS ET DÉFINITIONS 5 1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Notion de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1 Continuité d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Continuité uniforme d’une application . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Application Lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III THÉORÈMES DE PROLONGEMENT PARTICULIERS 13 IV THÉORÈME DE PROLONGEMENT DE TIETZE 15 1 Enoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Cas métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Preuve du cas métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Théorème de Dugundji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 V CONCLUSION 22 3 INTRODUCTION L’analyse est une branche des mathématiques dont une partie consiste à étudier les propriétés des espaces et des fonctions. On est ainsi fréquemment amené à s’interroger sur le prolongement des fonctions possédant certaines propriétés : des fonctions peuvent être facilement définies sur certains ensembles, mais on souhaiterait les étendre à des ensembles plus grands, tout en préservant leurs propriétés initiales. L’algèbre linéaire propose une approche simple de prolongement d’applications linéaires en dimension finie grâce au théorème de la base incomplète. En topologie par contre, il est possible de prolonger des fonctions définies sur une partie propre A d’un espace topologique et sous certaines conditions, de rendre ce prolongement unique. Dans ce travail, nous nous intéresserons au théorème de Tietze-Urysohn (encore simplement appelé théorème de Tietze),qui montre que toute fonction continue sur un fermé A d’un espace topologique normal est la restriction d’une fonction définie sur X tout entier. Dans un premier temps, nous rappellerons quelques notions et définitions sur les applications continues sur les espaces topologiques ; nous nous intéresserons ensuite à quelques cas particuliers de prolongement sur les espaces métriques. Le dernier chapitre sera consacré à l’étude du théorème de Tietze-Urysohn et en particulier à la version du théorème dans le cadre métrique. 4 RAPPELS ET DÉFINITIONS 1 Espaces topologiques Soit X un ensemble non vide. Définition 1.1 Une topologie sur X est une famille T de partie de X vérifiant les propriétés suivantes : (i) Toute réunion d’éléments de T appartient à T (ii) Toute intersection finie d’éléments de T appartient à T (iii) T contient l’ensemble X et le sous-ensemble vide φ de X On dit alors que le couple (X,T ) est un espace topologique. S’il n’y a aucune confusion ni nécéssité de spécifier la topologie, on sous-entend la topologie T et on parle simplement de l’espace topologique X. Soit X un espace topologique. Définition 1.2 • Ouvert Tout élément A de T est un ouvert • Fermé On dit que A ⊂ X est fermé si son complémentaire Ac est un ouvert. • Voisinage Soit x ∈ X. → On appelle voisinage de x, toute partie de X qui contient un ouvert auquel appartient le point x. → Un ensemble V est un voisinage d’un ensemble S si V est un voisinage de tous les points de S ou encore, si V contient un ouvert contenant S.