Suites numérique

« 1 « La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

» Blaise Pascal Chapitre III Limites de suites I - La notion de limite A- Limite infinie de suite Définition un finissent par dépasser, à partir d’un certain rang, n’importe quel nombre arbitrairement fixé aussi grand soit-il. lim u n = + un n→+ à partir d’un certain rang. Illustration : Propriété (limites de suites de référence, d’usage quotidien pour la suite) un = n, vn = n², wn = n3  n  d’usage quotidien lim √𝑛 = +∞ 𝑛→+∞ lim u n = − n →+ un Illustration : zn = 2 Exemple un un = -n². un B – Limite finie de suite Définition un : lim 𝑢𝑛 = 𝐿 un 𝑛→+∞ n Illustration : s’accumulent Remarque 3 Propriété (limites de suites de référence, d'usage quotidien pour la suite) 1 1  Les suites de terme général n , n² , 1 n sont convergentes et ont pour limite …. On a donc :   C – Suites n’admettant pas de limite ni finie, ni infinie Exemple (−1)𝑛 un un n’est pas convergente divergente. Illustration Définition un  un  un Exemples de suites divergentes un n u n = n²  un n un = - n  un n, u n = n II – Opérations sur les limites ( Ce paragraphe est le plus important du chapitre.) A- Limite d’une somme un vn lim u n = n→+ lim vn = n →+ lim (u n n →+ Exemples un 1 un = n + n². lim 𝑢𝑛 𝑛→+∞ un 4 vn vn = n3 + n² + 3. lim 𝑣𝑛 𝑛→+∞ B – Limite d’un produit un vn lim u n = n→+ lim vn = n →+ lim (u n  n →+ n Exemples a) un = (1+ 1 n )(−n + 4) 4 b) vn = n c) w n = n²–2024n d) z n = n − 2n   On retiendra donc que lorsqu’on est en présence d’une forme indéterminée, tenter une ……………… permet fréquemment de lever l’indétermination. C – Limite d’un quotient lim u n = n→+ lim vn = n →+ lim ( n → + un )= vn 0 5 Exemples a) un = 2 n² + n − 1 1− ; b) vn = 1 n 3 2+ n c) wn = ; n+5 n² + 1 d) zn = −2n² + 3n + 1 3n² + n + 4  Remarque abusivement 4 types de formes indéterminées −      0 III– Limites obtenues par comparaison ou encadrement  Théorème de comparaison pour les limites infinies  un vn un  vn un  vn Preuve Exemple a) un.... »