suites

Séquence 1 Les suites numériques Sommaire 1. Pré-requis 2. Le raisonnement par récurrence 3. Notions de limites 4. Synthèse Dans cette séquence, il s'agit d'une part d'approfondir la notion de suites numériques permettant la modélisation d'un certain nombre de phénomènes discrets et d'autre part, à travers l'étude des limites de suites, de préparer la présentation des limites de fonctions. Séquence 1 - MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Généralités sur les suites 1. Généralités a) Définition et notations Définition On appelle suite numérique toute fonction numérique définie sur sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . Notations ? » ou La suite est notée respectivement (un )n ?» ou (un )n >= n ou plus simplement (un ). 0 Le terme de rang n est noté un . b) Vocabulaire Définition Soit (un ) une suite définie sur l'ensemble des entiers supérieurs à un certain entier naturel n0 . On dit que : o la suite (un ) est croissante si pour tout n >= n0 , un +1 >= un ; o la suite (un ) est strictement croissante si pour tout n >= n0 , un +1 > un ; o la suite (un ) est décroissante si pour tout n >= n0 , un +1 <= un ; o la suite (un ) est strictement décroissante si pour tout n >= n0 , un +1 < un ; o la suite (un ) est constante si pour tout n >= n0 , un +1 = un ; o si une suite est croissante ou décroissante, on dit qu'elle est monotone. Séquence 1 - MA02 3 © Cned - Académie en ligne Définition Soit (un ) une suite définie pour n >= n0 . On dit que : o la suite (un ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n >= n0 , un <= M ; o la suite (un ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n >= n0 , un >= m ; o la suite (un ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. c) Propriétés Propriété Propriété Soit (un ) une suite définie pour n >= n0 . o Si (un ) est croissante alors pour Soit (un ) une suite définie pour n >= n0 par un = f (un ) où f est une fonction tout n >= p >= n0 on a un >= u p . o Si (un ) est décroissante alors pour tout n >= p >= n0 on a un <= u p . définie sur ?n0 ; +? ? . ? ? o Si f est croissante sur ?n0 ; +? ? ? ? alors (un ) est croissante. o Si f est décroissante sur ?n0 ; +? ? ? ? alors (un ) est décroissante. La réciproque de ces résultats est fausse. 2. Suites arithmétiques Définition Relation de récurrence () La suite un est dite arithmétique s'il existe r ?» tel que pour n >= n0 tout n >= n0 , un +1 = un + r . Le réel r ainsi défini est appelé raison de la suite arithmétique (un ). Propriété Si (un )n >=n0 Expression de un en fonction de n est arithmétique de raison r alors pour tout n >= n0 et pour tout p >= n0 , on a un = u p + (n - p ) × r . 4 Séquence 1 - MA02 © Cned - Académie en ligne Propriété Variations Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si r > 0, strictement décroissante si r < 0 et constante si r = 0. Propriété Somme de termes () Si un est arithmétique alors pour tout p >= n0 et pour tout n >= p , n >= n0 n ? uk = u p + u p +1 +...