Statistik - Mathematik.

« Wertet man die Punkte aus, die von zehn Klassen zu je 30 Schülern in je vier Prüfungen erzielt wurden, das sind insgesamt 1 200 Zahlen, so ist die Datenmenge zu groß,um wie in Abbildung 1 zweckmäßig dargestellt zu werden.

Der Statistiker teilt daher die Daten in Gruppen oder Klassen ein.

Beispielsweise könnten die 1 200 Zahlen aufzehn Intervalle verteilt werden, so wie in Spalte (a) der nebenstehenden Tabelle der Häufigkeitsverteilung.

Die Anzahl der Punkte in einem Intervall, Klassenhäufigkeitgenannt, ist in Spalte (c) eingetragen.

Die Zahlen, die die Breite des Intervalls bestimmen, heißen die Grenzen des Intervalls.

Es ist praktisch, die Intervallgrenzen so zuwählen, dass sie sich alle gleichen und die Intervallmittelpunkte einfache Zahlen sind.

Die Punktezahl 87 findet sich im Intervall von 80 bis 90.

Ein Grenzpunkt wie 90 kanndurch alle Gruppen hindurch einheitlich entweder den unteren oder den oberen Intervallen zugeteilt werden.

Die relative Häufigkeit, Spalte (d), ist das Verhältnis derHäufigkeit eines Intervalls zur Gesamtzahl.

Die Summenhäufigkeit, Spalte (e), stellt die Anzahl der Schüler dar, die eine Punktezahl erzielt haben, die kleiner oder gleichdem Wertebereich des Intervalls ist.

So erhält man die Anzahl der Schüler, die höchstens 30 Punkte haben, durch Addition der Zahlen in Spalte (c) für die ersten dreiIntervalle, deren Summe 53 beträgt.

Die relative Summenhäufigkeit, Spalte (f), ist das Verhältnis der Summenhäufigkeit zur Gesamtpunktezahl. Die Daten dieser Tabelle der Häufigkeitsverteilung können nun graphisch in einem Histogramm der Verteilung wie in Abbildung 2 veranschaulicht werden oder wie inAbbildung 3 in einer Verteilungsfunktion oder Summenhäufigkeitsverteilung.

Das Histogramm besteht aus einer Reihe von Säulen oder Balken, deren Grundseiten gleichden Intervallbreiten und deren Höhen und Flächeninhalte proportional zu den Häufigkeiten sind.

Das Polygon in Abbildung 3 ist durch Verbinden der Intervallmitte einesSummenhäufigkeitshistogramms durch gerade Linien entstanden. 4 MITTELWERTE Eine einfach zu berechnende und oft gebrauchte statistische Größe ist der Mittelwert. Es seien x1, x2, ..., xn die Zahlen einer statistischen Erhebung.

Das so genannte arithmetische Mittel  ist gleich der Summe der Werte dividiert durch n: Mit dem Symbol Σ für Sigma wird die Summe aller Werte bezeichnet. Median- und Modalwert sind zwei weitere Mittelwerte.

Sind die x-Werte numerisch angeordnet und n ungerade, so ist der Medianwert der Wert, der in der Reihe in der Mitte steht.

Ist n gerade, so ist er das arithmetische Mittel der mittleren beiden x.

Der Modalwert ist dasjenige x, das am häufigsten vorkommt.

Kommen zwei oder mehr verschiedene x gleich häufig vor, doch keines öfter, so kann man sagen, dass die Menge der x keinen Modalwert besitze oder dass sie bimodal mit Modalwerten an den beiden häufigsten x sei oder trimodal mit Modalwerten an den drei häufigsten x. 5 VARIANZ Häufig hat es der Forscher mit der Varianz einer Verteilung zu tun, also damit, ob sich die Werte um einen Mittelwert häufen oder ob sie mehr oder weniger gleichmäßigüber das ganze Spektrum verstreut sind.

Die so genannte Standardabweichung s gibt für einen beliebigen Wert x1 seine mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert x an: Ist die Standardabweichung gering, so häufen sich die Messungen um den Mittelwert; ist sie groß, so sind sie weit verstreut. 6 KORRELATION. »