Sphères, plans et droites

« deux centres (plutôt que de traiter le problème directement dans l'espace).

Dan s ce plan, il y a les deux centres et les deux cercles centrés en ces centres (les deux traces des sphères, c'est-à-dire les deux intersections des sphères avec le plan) .

De plus, chacun de ces cercles a pour rayon le rayon de la sphère dont il est l'intersection avec le plan .

• Si la distance séparant les deux centres est supérieure à la somme des rayons : les deux cercles sont disjoints et il en est logiquement de même pour les sphères associées.

En elfe~ on retrouve facilement le résultat tridimensionnel à partir du résultat bidimensionnel en imaginant que l'on fait tourner le plan d'étude autour d 'un axe qui passe par les deux centres , cela forme une surface dans l'espace , c'est le résultat en trois dimensions .

Dans le cas présent, il n'y a aucune intersection dans le plan.

Quand on effectue la rotation autour de l'axe, on obtient aucune trace, il n'y a donc pas d'intersection entre les deux sphères.

• Si la distance séparant les deux centres est exactement égale à la somme des rayons, les deux cercles sont tangents dans le plan .

Si on imagine la rotation du plan autour de l'axe passant par les deux centres, on obtient toujours comme intersection le simple point de tangence des cercles (en effet il appartient à la droite autour de laquelle on fait tourner le plan, donc il est invariant par rapport aux rotations et la surface qu'il décrit en tournant sur lui même , c'est lui même) .

• Si les deux centres sont au même endroit et que les rayons sont égaux, les deux cercles se superposent.

Lorsqu'on effectue la rotation pour obtenir la figure en trois dimensions correspondante on obtient une sphère.

En effet , si on fait tourner un cercle autour d'un de ses diamètres on obtient une sphère dans l'espace.

Dans ce cas, l' i ntersection des deux sphères (confondues) est la sphère elle-même .

• Si la différence entre le plus grand rayon et le plus petit rayon est strictement supérieure à la distance entre les deux cercles (autrement dit : si la distance entre les deux centres additionnée avec le plus petit des rayons est plus petite que le plus grand des rayons) alors le plus petit des deux cercles est totalement inclus dans le plus grand.

Il n'y a pas d'intersection .

Selon le même raisonnement que dans le premier cas en trois dimensions, l'intersection des deux sphères est donc nulle , l'une étant incluse dans l'autre .

• Si aucun des cas précédents n'est satisfait alors les deux cercles se coupent en deux points .

Si on visualise ces deux points dans l'espace on constate qu'ils dessinent un cercle.

!:intersection des deux sphères est donc un cercle dans l'espace .

Ainsi les cas possibles d'intersection entre deux sphères sont les suivants : aucune intersection, un point d'intersection, une sphère , un cercle .

Ce sont donc les mêmes cas d'intersection que ceux avec un plan et une sphère ; il faut cependant rajouter le cas où les deux sphères sont identiques.

INTERSECTIONS AVEC DES DROITES Les intersections entre deux plans semblent être des cas plus simples que les intersections entre un plan et une sphère ou entre deux sphères.

Nous allons le vérifier maintenant.

Si on considère deux plans, trois possibilités peuvent être illustrées : • soit ils sont parallèles et non confondus alors leur intersection est vide, c'est-à-dire qu'ils ne s'intersectent pas ; • soit ils sont parallèles et confondus dans ce cas leur intersection c'est eux même ; • soit ils ne sont pas parallèles et dans ce dernier cas ils se coupent selon une droite ; D 'autre part , il faut préciser que l'on peut définir une droite comme l'intersection de deux plans .

Cela n'est pas encore essentiel, mais il faudra s'en souvenir lorsque nous aborderons des exemples simples de géométrie analytique.

Pour l'instant , considérons qu'une droite est une ligne rectiligne et infinie dans l'espace.

Il devient alors simple de modéliser les cas possible s d'intersections entre une droite et un plan.

Soit la droite est parallèle au plan soit elle ne l'est pas.

Si elle est parallèle au plan, soit elle est contenue dans le plan (leur intersection est alors la droite) , soit elle e st totalement disjointe du plan (leur intersection est alors vide).

Si elle n'est pas parallèle au plan elle coupe logiquement le plan en un unique point.

Ces cas d'intersections de plan avec une droite sont très importants.

En effet, une droite étant l'intersection de deux plans, l'intersection d 'une droite avec un plan est l'intersection de trois plans entre eux.

Mais maintenant envisageons les intersections possibles entre une droite et une sphère : • soit la distance du centre de la sphère à la droite est supérieure au rayon, auquel cas l'intersection est vide ; • soit la distance du centre de la sphère à la droite est exactement égale au rayon dans ce cas l'intersection est le point de tangence ; • soit la distance entre le centre de la sphère et la droite est strictement inférieure au rayon alors la droite «traverse » la sphère ce qui fait donc deux points d'intersections (un point d'intersection à « l'entrée » et un point d 'intersect ion à la« sortie»).

Tout ces résultats se retrouvent facilement en raisonnant dans l'unique plan qui contient la droite et le centre de la sphère .

APPLICATION EN INFORMATIQUE Tous ces problèmes géométriques d'intersections peuvent paraître inutiles et indigeste s à première vue, une sorte de lubie de mathématiciens sans grand intérêt.

Pourtant ce sont des problème s qui ont de nombreuses applications pratiques .

Par exemple, les programmes sur ordinateurs qui permettent de créer des images en trois dimensions utilisent tous des calculs résolvant ces problèmes d'intersections.

En effet la méthode la plus classique pour faire une image en trois dimensions sur ordinateur est d'utiliser un algorithme dit « de lancer de rayon ».

On considère pour chaque point de l'image un rayon lumineux qui en part et grâce à des calculs on vérifie pour chaque plan de la scène si le rayon l'intersecte.

Si le rayon l'intersecte alors la lumière, vue du point de l'image d'où est parti le rayon, est de la couleur du plan qu'elle a intersecté.

Ainsi donc, en suivant chaque rayon lumineux un à un et en calculant tout ce qu'il peut intersecter comme objets de la scène, on parvient à savoir de quelle couleur doit être dessiné chaque point de l'image et on parvient donc à créer des images et des films en trois dimensions .

De plus, sans même parler d 'imagerie, ces problèmes d'intersections sont utiles pour toutes les simulations de trois dimensions sur ordinateur.

Par exemple, on peut calculer exactement la trajectoire d'un missile ou d'un boulet de canon sur ordinateur et avec des calculs d'intersection on peut savoir s'il va arriver sur la sphère ciblée ou non .

On peut aussi vérifier si des plans de bâtiments donneront des bâtiments solides en vérifiant où sont les points d'appuis d'intersections .

En résumé, tous ces problèmes d'intersections sont extrêmement importants dès que l'on modélise le monde réel.

BASES DE MÉTHODES DE CALCULS ANALYTIQUES Comment donc un ordinateur peut-il raisonner pour trouver les intersections? À partir de la définition des éléments (cercle, plan , droite) , l'homme isole les différents cas possibles rapidement en utilisant sa logique.

Mais pour un ordinateur c'est autre chose .

Un ordinateur ne sait agir que de façon systématique.

li lui faut une méthode infaillible qui soit toujours exactement la même .

La réponse est apportée par les mathématiques analytiques : la résolution de systèmes d'équations .

Comment un ordinateur peut savoir si deux plans se coupent ou non ? Nous , nous regardons si les deux plans sont parallèles ou pas.

Un ordinateur va agir sensiblement de la même façon : il va définir ces plans à partir d'un point et d'un vecteur perpendiculaire .

Il a donc pour ce problème deux points et deux vecteurs (un pour chaque plan).

Si ces deux vecteurs sont parallèles, les plans le sont, de même s'ils ne sont pas parallèles , les plans ne le sont pas.

Or les mathématiques offrent justement un outil très pratique de calcul pour savoir si deux vecteurs sont parallèles ou non : le produit vectoriel.

Le produit vectoriel de deux vecteurs A et B est défini ainsi : il est nul si et seulement si les deux vecteurs sont parallèles.

AxB =(~ :)x(~:)=(~: :=~~ :) Za Z b X aYb-YaX b On constate donc qu'avec simplement trois calculs (un pour chaque ligne du vecteur final) un ordinateur peut savoir si les deux plans sont parallèles ou non .

De la même façon, nous pouvons traiter le cas de l'intersection d 'une droite avec un plan.

Tout d'abord, une droite est l'intersection de deux plans .

Chercher si une droite et un plan se coupent revient à chercher si trois plans se coupent en un point commun ou non .

Cette fois, nous allons définir un plan à partir de son équation (une équation de plan est du type ax+by+a+d=O avec les chiffres a , b, c et d, définissant le plan) et non plus à partir d 'un point et d 'un vecteur perpendiculaire.

Chercher si les trois plans (Pl, P2 et P3) se coupent en un seul point revient donc à chercher s'il existe un point M(x,y ,z ) tel que x, y et z vérifient: { a pi X+ bPI Y+ CpJZ +d PI= 0 GP2X + bP2Y + Cp2Z + dP2 = 0 Gp3X + bP3Y + Cp3Z + dP3 = 0 Encore une fois il existe un outil mathématique puissant qui permet de savoir si un tel système de 3 équations admet une unique solution ou non : le déterminant 3x3.

Le déterminant 3x3 se défin it à partir d'un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues : (ap1 b p 2 Cp3)+(bp 1 ep2ap3)+( Cp1 ap2bp3)­ (ap,b p2ép1)-(ap,bp,cp3)-(ap1Cp,cp,).

Il est non nul si et seulement si on a une solution unique.

Il est nul s'il n'y a aucune solution donc la droite est parallèle et disjointe du plan.

S'il y a une infinité de solution la droite est parallèle et contenue dans le plan.

On voit ici qu'avec un seul calcul (qui peut paraître long, mais qui est très simple pour un ordinateur) on peut savo ir de façon systématique si une droit e coupe un plan (donc si le rayon lumineu x doit prendre la couleur d'un plan de la scène par exemple) .

Bien entendu ce ne sont que quelques rudiments de géométrie analytique, mais ils permettent déjà d'avoir une bonne idée du fonctionnement des ordinateurs lorsqu 'ils ont à traiter ces problèmes d'intersections .

Un pt'OfTIImme sur ordinateur peut touj ours le même par l 'approche analytique : on pose les équations caractéristiques de tous les éléments (par exemple une équation du type « ax+by+a+d=O » pour un plan) et selon .le type des équations, on applique telle ou telle méthode de résolution automatique.

Ains i on peut déterminer s'il y a intersection et, si oui, le type d'intersection.

Intersections entre deux plans Les plans sont parallèles et non confondus .

Il n'y a pas d'intersection .

Les plans sont parallèles et confondus.

les plans ne sont pas parallèles .

!:intersection est une droite.. »