somme de variable aléatoire

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Somme de deux variables aléatoires Définition : Soit X et Y deux variables aléatoires.

La somme X + Y est une nouvelle variable aléatoire qui prend comme valeur la somme des valeurs de X et de Y : sa loi de probabilité est donnée par : P (X + Y = k) = ∑ P (( X =i)∩(Y = j)). i + j=k Exemple : On joue à un premier jeu qui peut nous faire gagner 1 euro ou 2 euros.

On note X la variable aléatoire associée au gain de ce premier jeu. On joue à un deuxième jeu qui peut nous faire gagner 3 euros ou 4 euros ou bien nous faire perdre 2 euros.

On note Y la variable aléatoire associée au gain de ce deuxième jeu. La variable aléatoire X + Y donne ainsi le gain cumulé sur les deux jeux. Cette nouvelle variable peut prendre les valeurs −1, 0, 4, 5 ou 6. La probabilité de gagner 5 euros sur le cumul des deux jeux est donnée par la formule : P (X + Y = 5) = P ((X = 1) ∩ (Y = 4)) + P ((X = 2) ∩ (Y = 3)). Définition : (Somme et indépendances) Soit X et Y deux variables aléatoires.

Si les événements (X = i) et (Y = j) sont indépendants alors : P (X + Y = k) = ∑ i + j=k P (( X =i)× P (Y = j)). On dit alors que les variables X et Y sont indépendantes. Définition : (Produit par un réel) Soit X une variable aléatoire et a un nombre réel.

Le produit de X par le réel a est la variable aléatoire notée aX qui prend pour valeur le produit des valeurs de X par a. Exemple : On lance un dé tétraédrique numéroté de 1 à 4.

On note X la variable aléatoire associée au résultat du lancer de ce dé.

2X est la variable aléatoire qui prend les valeurs 2, 4, 6 ou 8. Propriété : (Linéarité de l’espérance) Soient X et Y deux variables aléatoires et soit a et b deux réels. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) ; E(aX) = aE(X) et E(aX + b) = aE(X) + b Propriété : (Additivité de la variance) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes et soit a un réel. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) et V (aX) = a²V (X) Exemple : On lance un dé tétraédrique numéroté de 1 à 4.

On note X la variable aléatoire associée au résultat du lancer de ce dé. On lance un dé cubique numéroté de 1 à 6.

On note Y la variable aléatoire associée au résultat du lancer de ce dé. 1 1 E(X) = 4 (1 + 2 + 3 + 4) = 2, 5.... »