Similitudes et déplacements en mathématique

« Exemples d'isométries B' B" B D D' • ABCD -+ A'B'C'D ': rotation de centre O et d'angle rr/4 (45°) • A'B'C'D '-+ A"B"C"D" : translation T de vecteur u • ABCD -+ A"B"C"D" : composée de R et de T (et inversement) le point M' tel que : • D est la médiatrice du segment [MM1.

si M n'appartient pas à D , • M '= M, si M appartient à D.

S YMfl RIE GUSStE Soit D une droite du plan et u un vecteur directeur de D.

On appelle symétrie glissée d'axe D et de direction u, la transformation qui est 1-------------- .....

----------- -.

la composée de la symétrie axiale d'axe image le milieu I' du segment [A'Bl image de [AB] par!, •les aires, • les barycentres.

Toute similitude est la composée d'une isométrie et d'une homothétie de même rapport .

Réciproquement, la composée d'une isométrie et d'une homothétie est une similitude .

La transformation vectorie lle associée à une isométrie 1, appelée isométrie vectorielle , conserve le produit scalaire.

C'est-à-dire que : f(u)f(v) = ÏN Parmi les isométries, on distingue deux cas : les déplacements et les antidéplacements.

En effet , toute isométrie est soit un déplacement soit un antidéplacement.

DtFINITI O N Un déplacement est une isométrie qui conserve les orientations.

Cela signifie donc qu'il conserve les dista nces et les angles orientés.

Un déplacement est une similitude directe de rapport de similitude k = 1.

Un antidéplacement est une isométrie qui ne conserve pas les orientations.

Cela signifie donc qu'il conserve les distances mais inverse les angles orientés.

Un antidéplacement est une similitude indirecte de rapport de similitude k = 1.

P IOPRltrts Les déplacements et les antidép laceme nts possèdent toutes les propriétés des similitudes directes et indirectes respectivement et des isométries.

Compositions • La composée de deux déplacements est un déplacement.

• La composée de deux antidéplacements est un déplacement.

• La composée d 'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.

De même, la composée d'un antidéplacement et d'un déplacement est un antidéplacement.

Réciproqu e • Les déplacements et les antidéplacements sont bijectifs .

• La réciproque d'un déplacement est un déplacement.

• La réciproque d'un antidéplacement est un antidéplacement.

Desc ription Les déplacements sont le résultat d'un glissement du plan sur lui-même .

Les seuls déplacements du plan sont la trans lation, la rotation , l'identité du plan.

Les antidéplacements sont le résultat d'un glissement du plan composé avec un retournement du plan sur lui-même.

Ce sont donc les symétries axiales et les symétries glissées.

TRANSL ATION Une translation de vecteur u est la transformation géométrique qui, à tout point M du plan , fait correspondre le point M' tel qu'on ait l'égalité vectorielle MM'=u.

ROTATION Soit R un point du plan et a un angle orienté .

La rotation de centre R et d'angle a est la transformation géométrique qui, à tout point M du p lan, associe le point M ' tel que : • M' = M si M = R, • RM = RM' et (RM ; RM) =a sinon (c'est-à-dire si M,.

R).

IDENTlrt DU PLAN L'identité est une transformation géométrique qui transforme un point M en lui-même .

L'image de la figure est elle-même .

C'est une trans lation de vecteur nul, une rotation d'angle nul...

SYM tTRIE AXIAU Soit D une droite du plan .

La symétrie axiale d'axe D est la transformation géométrique du plan , par laquelle tout point M a pour image D et de la translation de vecteur u.

L'image d'un point M est donc obtenu en effectuant d'abord la symétrie orthogonale d'axe D puis la translation de vecteur u (ou vice -versa) .

LA TROISIÈME DIMENSION lsoM m lES DE L'ESPACE Les isométries dans l'espace sont les suivantes: Déplacements • Translation •Rotations •Vissages Antidépl acements •Réflexions • Réflexions tournées • Réflexions glissées En ce qui concerne les translations , les rotations et les réflexions (dans le plan les réflexions sont les symétries axiales), le principe est le même que dans le plan.

La translation est définie par un vecteur de l'espace qui possède donc trois composantes .

La rotation, quant à elle, ne possède plus un centre mais un axe de rotation.

Elle est définie comme suit : Soit D une droite , k un vecteur de norme l de D et 0 un nombre .

La rotation d'axe D orienté par k et d'angle 0, notée r (Dk, 0), est l'application qui à tout point M de l 'espace associe le point M ' qui est : • situé dans Je plan P orthogonal à D passant par M, • image de M dans P par la rotation plane r (H,0), où H est le point où D coupe Pet P suit l'orientatio n de D.

D H p M M' La réflexion de l'espace est une symétrie orthogonale par rapport à un plan de l'espace .

On ne fait plus de symétrie par rapport à un axe mais par rapport à un plan .

Le vissage , ou encore déplacement hélicoïdal, est le produit r (Dk, B)•tu d'une rotation et d 'une translation , où : • l'angle de la rotation est différent de zéro modulo 2rr, • le vecteur de la translation est non nul et il se trouve dans la direction de l'axe de la rotation.

Pour obtenir l'image M ' d ' un point M, on translate M par tu, ce qui donne le point intermédiaire M1, puis on fait tourner M1 par la rotation r (Dk, 0), ce qui donne M'.

On peut également commencer par la rotation .

Une réflexion tournée est le produit sP• r (Dk, 0 ) d'une réflexion et d'une rotation, où : •l'axe de la rotation est perpendiculaire au plan de la réflexion , •l'angle de la rotat ion est différent de zéro modulo 2rr.

Pour obtenir l'image M ' d ' un point M, on fait tourner M par la rotation r (Dk, 0), ce qui donne le point intermédiaire M ,, puis on réfléchit M, par rapport à P, ce qui donne M'.

On peut également commencer par la réflexion : M-+M 2-+M' Une réflexion glissée est le produit tu, sP d'une réflexion et d 'une translation, où le vecteur de la translation : • est non nul, • appartient à la direction du plan de la réflexion.

Pour obtenir l'image M' d'un point M , on réfléchit M par rapport à P, ce qui donne le point intermédiaire M1 , puis on translate M, par tu, ce qui donne M'.

On peut également commencer par la trans lation : M-+M2 -+M ' M' SIMILITUDES DANS L'ESPACE On a vu précédemment que les isomét ries font part ie des simi litudes.

Or, un théorème énonce que, dans l'espace, toute similitude , si ce n'est pas une isométrie, est toujours le produit d'une homothé tie de rapport positif ou négatif , et d'une rotation dont l 'axe passe par Je centre de l 'homothétie .

Ce produit est commutatif, c'est-à-dire que le résultat sera le même peu importe l'ordre.

DIMEN SIONS SUPh lE URES Il est possible de parler de similitude et de déplacement en dimension supérieure .

On utilise alors des tableaux de chiffres appelés « matrices » qui représentent les applications dans un « espace » de dimension n dans lui-même ou un autre « espace ».

L'outil géométrique est alors à la fois plus simple et plus puissant.

Par exemple , la matrice de l'identité dans un espace de dimension 5 dans lui-même est présentée ci-dessous .

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 OUVERTURE il LA PHYS IQUE En sciences physiques, il existe une méthode appelée méthodes des similitudes .

En effet , il arrive souvent que le scientifique obtienne un système d'équations très complexe et souvent impossible à résoudre.

C'est le cas, par exemple , en mécanique des fluides pour les écoulements turbulents .

Il a alors le choix entre deux solutions : • soit faire des approximations et obtenir une solution approchée du problème, •soit avoir reco urs à l 'expérience .

On est donc amené à réaliser des prototypes (modèles en grandeur nature) ou des maquettes (modèles réduits).

En général, pour des raisons de coûts, l'étude d'un prototype se lait sur une maquette.

Il faut donc transposer les résultats de la maquette au prototype : c'est la méthode des simi litudes.

Celle-ci s'articule en trois points : • écriture des équations dynamiques et des conditions aux limites, • groupement des différentes grandeurs , • des expériences différentes (maquette et prototype) vont donc obéir aux mêmes relation s (m êmes équations , mêmes cond itions aux limites) et vont pouvoir être comparées.

0 11CilNE DES SIMILITUDES L'histoire des similitudes est très liée à celle des nombres et de la mesure .

En effet Hiéronyme dit que Thalès eut l'idée de mesurer la taille des pyramides grâce à celle de leur ombre .

Il avait repé r é à q uel moment de la journée sa propre ombre mesurait sa taille exacte ou un rapport de sa taille (1/2 , 1/3 ...

) et a mes uré l'ombre d'une pyra mide au m êm e m om en t de la journée pour connaître la taille exacte du monu ment.

Ainsi Plutarque dit:« la hauteur d'une pyramide est rapportée à la longueur de son ombre exactement comme la hauteur de n'importe quel objet vertical mesurab l e est rapportée à la longueur de son ombre à un même moment de la journée >>.

Finalement, à l 'origine, l'idée est la même qu'en physique : c'est en voulant simplifier la mesure de quelque chose qui paraissait incommensurab le que les mathématiciens ont eu l'idée de comparer deux éléments semblables , l'ombre de la pyramide et celle de l 'humain , puis au fil du temps l'image et l 'antécédent.

C'est donc le rapport k de la similitude qui permet de passer d 'une figure à l'autre .. »